Лекция 2 16.02.11

Организация внутрифирменного управления

Конкурсный механизм распределения корпоративного заказа.

Как отмечалось выше, объединившись в корпорации, предприятия получают существенные конкурентные преимущества. Одним из них является возможность организации корпоративной маркетинговой службы, что позволяет проводить серьезные маркетинговые исследования и получать крупные заказы. Однако при этом возникает проблема распределения полученного заказа между предприятиями.

В первом случае в условиях горизонтальной интеграции предприятия могут пересекаться по номенклатуре выпускаемой продукции.

Во втором случае предприятия выпускают различную номенклатуру, но величина заказа ограничена величиной корпоративных оборотных средств, то есть когда заказ достаточно большой, но нет достаточных оборотных средств, чтобы его выполнить.

Для определенности будем рассматривать первый случай. Дадим формальную постановку задачи: имеются n предприятий, входящих в корпорацию, среди них необходимо распределить корпоративный заказ величиной R. Каждое предприятие характеризуется Q_i –производственные возможности итого предприятия, c_i- себестоимость единицы продукции. Существует договорная цена за единицу продукции Ц_Д, существует норматив фи отчислений от планируемой прибыли предприятия в корпоративный цент. Величина корпоративного заказа, полученным итым предприятием – х_i. Проблема возникает в том случае, когда сумма Q итых больше чем R (суммарная производственная возможность всех предприятий превышает величину корпоративного заказа). С учетом введенных обозначений прибыль корпорации можно рассчитать по след формуле:

П=∑(Ц_Д-с_i)*x_i -> max

0 ≤ х_i ≤ Q_i

∑x_i=R

Для поиска оптимального решения, то есть такого распределения х , пронумеруем предприятия, входящих в корпорацию, по возрастанию себестоимости производства: На первом месте предприятие с наименьшей себестоимостью.

С1<с2 …<c_i<…<Cn

Определив в этом списке предприятие с номером K, такое чтобы выполнялось след условие ∑Q_i <R ≤ ∑ Q_i .

Когда этот номер К определен, то можно записать, что оптимальным номером для предприятия с номером К+1будет x_i = R - ∑ Q_i . для предприятий у которых номер больше чем i > К+1 будет х_i=0.

Проблема в использовании дан подхода возникает в том случае, если корпоративному центру не известны точные, реальные значения показателя Цд. В этом случае целесообразно использовать метод формирования данных, который заключается в том, что предприятие сообщает в корпоративный центр свою оценку S_i-оценка себестоимости. Очевидно, что преследуя свои экономические интересы предприятия в общем случае могут сообщить недостоверную информацию, то есть S_i может быть не равно с_i. В случае занижения оценки себестоимости предприятие преследует цель получения корпоративного заказа. При этом данные предприятия, которые занижали оценку себестоимости, увеличивают отчисления в корпоративный цент, которые представляют собой φ(Цд-S_i), это приводит к тому, что фактическая прибыль предприятия, определяемая по формуле П_i=(Цд-c_i)x_i – φ(Цд-S_i) уменьшается, и может стать отрицательной величиной, так как они должны будут отдать больше, чем заработали.

От сюда можно сделать вывод, что стремление получить корпоративный заказ за счет занижения оценки себестоимости менее эффективными предприятиями не целесообразно, так как более эффективные предприятия (с меньшей реальной себестоимость производства) всегда могут вернуть себе корпоративный заказ так же снизив оценку своей себестоимости и более того очевидно, что они позе выйдут в минус по фактической прибыли, чем менее эффективные предприятия.

То есть тенденция занижения оценки себестоимости в данном механизме отсутствует.

Завышение оценки себестоимости преследует цель увеличить фактическую прибыл за счет снижения отчислений в корпоративный центр.

Очевидно, что предприятия не могут до бесконечности увеличивать оценку своей себестоимости. Для определения верхней границы введем в рассмотрение след условие: допустим, что производственные возможности предприятия Q _k+2 ≥ Q _i для i=1…к+1.

С учетом введенного дополнительного ограничения справедливо след утверждение: ситуации равновесия Нэша соответствует оптимальное распределение корпоративного заказа в смысле максимума прибыли корпорации.

Равновесие Нэша – такое состояние организационной системы, при котором ни одному из участников взаимодействия невыгодно менять стратегию своего поведения (менять оценку себестоимости ) если только другие участники также не будут менять свою стратегию поведения.

В нашем случае аналитическая запись равновесия Нэша имеет след вид:

S_i^*= i=1..k+1, C_k+2 (*)

i >K+1, C_i

 

Очевидно, что сообщая оценки S_i= C_k+2. Все предприятия от 1 до к+1 сохранят свои заказы, если хотя бы одно из этих предприятий скажет оценку больше, чем C_k+2 , то оно автоматически потеряет корпоративный заказ, и он перейдет предприятию С_к+2.

С другой стороны, если какое то предприятие с номерами от 1 до к+1 скажет оценку себестоимость меньше, чем C_k+2, то его фактическая прибыль все равно уменьшится за счет отчислений в корпоративный центр.

Оценим эффективность данного механизма управления.

Эффективность- относительный показатель

Эффект- что то минус что то.

 

С учетом выражения (*) можно рассчитать прибыль корпоративного центра.

Пкц = φ(Цд- Ск+2)*R

А максимально возможная прибыль корпоративного центра составляет

П^махкц = φ ∑ (Цд- Сi) х_i⁰

Э= Пкц / П^мах_кц - эффективность

Вывод: из рассмотренного выше механизма можно сделать 4 вывода:

1) Конкурсный механизм в общем случае ( Q_k+2 ≥ Q_i) не обеспечивает оптимальное распределение корпоративного заказа.

2) Ситуация равновесия соответствует завышению оценки себестоимость предприятия, получившего корпоративный заказ

3) В общем случае существует несколько ситуаций равновесия, что делает неустойчивой процедуру планирования.

4) Эффективность конкурсного механизма достаточно низкая.

 

Конкурсный механизм с отчислениями в корпоративный центр от планируемой и сверхплановой прибыли предприятия.

 

Лекция 3

Лекция 4 2.03.11

Механизм распределения корпоративного заказа на основе внутренних цен для нелинейных функций производственных издержек (функций типа Кобба-Дугласа).

Z_i= x_i^q*r_i^1-q* 1/q

X_i -объем выпускаемой продукции, величина корпоративного заказа.

r_i ^- показатель эф-ти деятельности предприятия ( чем больше, тем эффективнее работает предприятие)

q- некий показатель, положительное число ( >1)

1/q – никакой смысловой нагрузки не имеет ( в дальнейшем сокрашается)

Для простоты будем рассматривать случай когда q=2 , тогда Z_i= х_i²/ 2r_i

Распределить между n предприятиями, входящих в корпорация исходя из максимизации прибыли всей корпорации. Сперва необходимо записать критерий:

П=Цд*R - ∑ х_i²/ 2r_i →max

∑ х_i= R

Ф =∑ х_i²/ 2r_i →min

∑ х_i= R

Решим данную оптимизационную задачу методом множителя Лангранжа:

L =∑ х_i²/ 2r_i –μ (∑ х_i-R)

μ – множитель лангранжа

продифференцируем:

дL/дx_i= x_i/r_i-μ =0 x_i=μ* r_i ∑ х_i=∑μ* r_i

μ= R/∑r_i

x_i⁰= r_i/ ∑r_i *R

Корпоративный заказ будет распределяться пропорционально деятельности предприятия

Полученное выражение позволяет распределить корпоративный заказ оптимальным образом при наличие у корпоративного центра достоверной информации о показателях эффективности деятельности предприятия. Проблема возникает в том случае, если корпоративный центр не обладает достоверной информаций об р итом, тогда целесообразно использовать метод формирования данных, тогда предприятия будут сообщать свою оценку деятельности.

Введем в рассмотрение внутреннюю цену в качестве одного из управляющих параметров (Цв). Внутреннюю цену будем определять исходя из условия максимума внутренней прибыли предприятия (функции предпочтения предприятия).

П_i^в= Цв* х_i- х_i²/ 2r_i

Если цена неизвестна то:

П_i^в= Цв* х_i- х_i²/ 2S_i

Корпоративный заказ будем распределять таким образом, чтобы прибыль была максимальна.

Возьмем производную по х итому:

д П_i^в/ д х_i = Цв - х_i/ S_i

х_i = Цв * S_i (**)

_∑ х_i = Цв * ∑S_i

Цв= R/ ∑S_i

х_i⁰= S_i/∑S_i *R

П_i^ф= П_i^в/∑ П_i^в *П фактическая прибыль

П^ф_i= ( Цв*хi - х_i²/ 2r_i) /∑(Цв*xi - х_i²/ 2r_i) *П =

Заменим х итое на (**)

= (Цв²*S_i – Цв²*S_i²/ 2r_i) /∑(Цв²* S_i – Цв²*S_i²/ 2r_i) *П

 

Максимум фактической прибыли предприятий достигается в случае, если функция, стоящая в числители (S_i-S_i²/2r_i) достигает своего максимума/

Для определения максимума этой функции продифференцируем ее по Si и приравняем к 0.

д/дS_i (Si - S_i²/ 2r_i) =1-S_i/r_i=0

S_i^*= r_i

То есть оптимальной стратегией будет сообщение достоверной информации.

Выводы по рассмотренным механизмам:

1. Все предприятия сообщают достоверную информацию о показателях эффективности деятельности, то есть данный механизм является механизмом «честной игры»;

2. Распределение заказа между предприятиями ( корпоративного) является оптимальным как по критерию максимума прибыли корпорации, так и по критерию максимума прибыли предприятий.

3. В случае производственных издержек, типа функции кобба-дугласа, никакого перераспределения прибыли между предприятиями не происходит, то есть их фактическая прибыль в точности равняется прибыли предприятия рассчитанной через договорную цену. П_i^ф=П_i(Цд)

Пример:

r1= 2 r2=4 r3= 6

R=240 Цд=30

S_i^*=r_i

Цв= R/ r1+r2+r3 = 240/12 = 20

Х1= r1/ r1+r2+r3 *R = 40

Х2= 80

Х3= 120

П^в₁= Цв*х1 – х₁²/ 2r₁=20*40 – 40²/2*2 = 400

П^в₂= 20*80 – 80*80/2*4 = 800

П^в₃= 20*120 – 120*120/ 2*6 = 2400- 1200= 1200

П=Цд*R- ∑ х₁²/ 2r₁=30*240- 2400= 4800

П- Прибыль корпорации

П^ф₁= П^в₁/( П^в₁₊ П^в₂+ П^в₃) *П = 400/2400 * 4800= 800

П^ф₂=1600

П^ф₃=2400

Сколько заработало: П₁(Цд)= 30*40 – 40²/2*2 = 1200-400=800

П₂(Цд)= 30*80 – 80²/8 = 2400-800=1600

П₃(Цд)= 30*120 – 120²/12 = 3600-1200=2400

 

Согласованный механизм распределения корпоративного заказа.

Лекция 5

Лекция 6 22.03.11

Механизм распределения однотипных работ между подразделениями фирмы.

Рассматривая производственную деятельность фирмы можно выделить два сценария:

1. Когда все подразделения фирмы могут выполнять работы любого из подразделений. В этом случае возникает задача распределения некого объема работ между проблемными подразделениями.

2. Подразделения фирмы специализируются на определенном виде работ. Возникает задача распределения финансирования между подразделениями фирмы таким образом, чтобы покрыть затраты подразделений на выполнение определенного объема работ.

Формализация функций затрат подразделений.

В общем случае затраты подразделений З_i состоят из двух частей: 1)Постоянные затраты,

2)Переменные затраты.

З_i=рi+ki *xi

Ki – себестоимость итой продукции

Xi- объем произведенной продукции

Постоянными называются такие затраты, величина которых не меняется с изменением объемов производства. Если их рассчитать на единицу продукции, то они будут убывать с увеличением объема производства. К постоянным затратам, за частую, относят например арендную плату, проценты за пользование кредитом, амортизация основных фондов, зарплата руководящему составу, административные расходы.

Переменные затраты - это затраты, величина которых изменяется в соответствие с изменением объемов производства. Если их рассчитать на единицу продукции, то они остаются постоянными. К переменным затратам относят: прямые материальные затраты (комплектующие, сырье), заработная плата производственных рабочих, платежи за тепло и электроэнергию.

Взаимосвязь затрат, выручки и прибыли формируют основную модель финансовой деятельности любого предприятия. Графическим способом эту модель финансовой деятельности можно представить след образом:

 

 

Если посмотреть на себестоимость единицы продукции, то это : сi=зi/xi = pi/xi +ki.

Дадим графическое изображение:

 

Очевидно, что себестоимость продукции не может постоянно снижаться при любых наращенных объемах производства, поэтому начиная с некого объема производства Хi^* себестоимость увеличится, одной из основных причин может, случит ограничение по производственным возможностям. Учитывая зависимость себестоимости от затрат, будет уже иметь нелинейную зависимость.

Где r_i показатель эффективности деятельности предприятия.

З_i= p_i + x_i²/2r_i

Постановка задач.

Требуется распределить объем работ- R между n подразделениями фирмы, каждое из подразделений хар-тся показателем эффективности своей деятельности - r_i, существует C - стоимость всех работ. Будем считать что показатель эффективности r_i нам известны. Если же они не известны, то подразделения будут сообщать не оценку эффективности своей деятельности, а будут сообщать свою заявку S_i на желаемый объем работ.

Если ri известно, тогда прибыль итого подразделения будет равна: Пi= С/R * x_i - p_i - x_i²/2r_i

Очевидно, что прибыль всей фирмы будет максимальна в том случае, если суммарная прибыль всех подразделений также будет максимальна. Тогда в качестве критерия оптимизации будет сумма всех прибылей подразделений

∑ Пi = ∑( С/R * x_i - p_i - x_i²/2r_i ) →мах

∑ x_i=R

Чтобы максимизировать прибыль нужно минимизировать затраты подразделений.

Данная оптимизационная задача аналогична задаче минимизации затрат всех подразделений.

∑ x_i²/2r_i→min

∑ x_i=R

Решим с помощью множителя Лагранжа:

L= x_i²/2r_i +μ (R -∑ x_i)

Нужно взять частную производную по частной переменной и приравнять к нулю.

dL/dx == x_i/r_i –μ=0

x_i=r_i *μ

∑x_i=∑r_i *μ =R

μ=R/∑r_i

x_i⁰=r_i/∑r_i *R

в случае если ri неизвестно, то работы можно распределять пропорционально поданным заявкам Si на желаемый объем работ.

X_i=Si/∑Si *R

Если ∑Si =R , то каждое подразделение получает столько, сколько попросило. Если сумма не равна R , то распределяем пропорционально поданным заявкам.

Рассмотрим прибыль итого подразделения :

 

Хi^*- оптимальный объем работ с точки зрения поразделения.

dП/dxi = C/R – xi/ri =0

Хi^*= ri* C/R

V=∑ xi^*

Если:

1)V=R => Si^*=xi^*

Si ϵ [d,D]

2)V<R (предприятию нужно меньший объем работ, поэтому будут занижать) => Si^*=d

3)V<R => Si^*=D (хотят больший объем работ, поэтому будут завышать)

……

S_i^k+1= S_i^k+γ_i(Š_i^k + S_i^k)

Š_i^k-функция целей итого подразделения

γ_i -скорость движения к сложной цели

Определим равновесную стратегию поведения для итого предприятия:
Пi= C/R* Si/∑Si*R-p_i- Si²/((∑ Si)²*r_i) *R²

Продифференцируем:

dПi/dSi = C* (∑ Si- Si)/(∑ Si)² – (2Si (∑ Si)² - 2∑ Si * Si² )/(2ri (∑ Si)⁴) *R²=0

C *( (∑ Si- Si)/ (∑ Si)²) – ((Si*∑ Si-Si²)/ ri(∑ Si)³) *R²=0

C*ri*∑ Si – Si*R²=0

C*ri *(Si+∑_i≠jSj) –Si*R²=0

S_i^*=(C*r_i*∑_i≠jS_j)/(R²-C*r_i)

Механизм финансирования подразделений фирмы

Предположим, что фирме необходимо выполнить некий объем работ стоимостью С. Обозначим через зi затраты итого подразделения, будем считать, что каждое подразделение выполняет свою работу. Нужно определить ci, то есть объем финансирования итого подразделения.

∑ зi<С

Один из вариантов решения данной задачи это использование принципа равных рентабельностей. Будем исходить из того, что ввсе фирмы работают с равным уровнем рентабельности.

ρ_мах=С-З/З

З=∑Зi

ρ_i=ci-зi/ зi

ci-зi/ зi = cj-зj/ зj целевая функция

∑ci=C

Перепишем целевую функцию в следующем виде:

ci/зi -1 =cj/зj -1

cj=зj/зi * ci

просуммируем левую и правую части выражения по j=1…n

∑с_j= ∑з_j * c_i/з_i =C

c_i=з_i/∑з_j *С = з_i/з_j *C -оптимальное решение задачи

в случае если на этапе планирования затраты подразделений не известны, то тогда финансирование можно распределять на основе поданных подразделениями заявок на требуемый уровень финансирования.

Si- запрашиваемый уровень финансирования итым подразделением

Сi= Si/∑Si *C

В этом случае прибыль итого подразделения определяется:

Пi=ci-зi= Si/∑Si * C – зi

Из полученного выражения, очевидно, что подразделениям выгодно завышать запрашиваемый уровень финансирования.

Для устранения этой негативной тенденции (чтоб предприятия не запрашивали слишком много денег) введем в рассмотрение норматив отчислений от сверхплановой прибыли –α.

Сверхплановая прибыль это : Si-Зi

Тогда: Пi= Si/∑Si *C –Зi – α(Si-Зi)

Ситуацию равновесия по Нэшу можно определить из следующего условия: dПi/dSi = 0, Si- запрашиваемый объем финансирования.

Продифференцируем:

C* (∑Si-Si)/(∑Si)² –α=0

Запишем иначе:

C* Si/(∑Si)² =C/∑Si –α

Si= ∑ⁿSi*(1- (α/C)*∑ⁿSi)

Просуммируем обе засти по i=1...n

∑Si=n*∑ⁿSi (1- α/C *∑ⁿSi)

1=n(1-α/C *∑ⁿSi)

α*n/C *∑ⁿSi=n-1

∑ⁿSi= C(n-1)/α*n

В состоянии равновесия по Нэшу все подразделения будут запрашивать следующий объем финансирования: n*Si^*= C(n-1)/α*n

Тогда: Si^*= C(n-1)/α*n² , полученное выражение определяет оптимальную стратегию поведения итого предприятия в случае, если Si^*>Зi (это когда предприятия хотят получить денег больше чем их реальные затраты).

Оценим в каких случаях данный механизм может обеспечивать достоверность запрашиваемой информации. Чтобы предприятия не завышали запрашиваемый объем финансирования по сравнению с их реальными затратами, необходимо выполнение следующего условия: с увеличением запрашиваемого уровня финансирования, прибыль должна снижаться. dПi/dSi<0 (в этом случае предприятиям будет не выгодно завышать)

C* (∑Si-Si)/(∑Si)² –α < 0

Перепишем неравенство:

С/∑Si – Si/(∑Si)² *C –α< 0

Вычтем из обеих частей этого неравенства по единице:

С/∑Si – 1 - Si/(∑Si)² *С –α < -1

Если это«С/∑Si – 1» привести к общему знаменателю, то получим: С-∑Si/∑Si –рентабельность всей фирмы определяемая на этапе планирования (ρ)

С-∑Si/∑Si - Si/(∑Si)² *С < α -1

Теперь нужно избавиться от сумм:

ρ- Si/(∑Si)² *С < α -1

ρ-α+1< Si*C/(∑Si)²

∑Si/Si *( ρ-α+1) <C/∑Si

Вычтем еще раз из обеих частей по единице:

∑Si/Si *( ρ-α+1) -1 <C/∑Si -1

«C/∑Si -1 =ρ»

Тогда:

∑Si/Si *( ρ-α+1)<ρ+1

( ρ-α+1)/Si(ρ+1)< 1/∑Si

Умножим левую и правую часть на С и вычтем по единице, чтобы неравенство не нарушилось (цель перейти к ρ, избавившись от< 1/∑Si):

С(ρ-α+1)/Si(ρ+1) -1<ρ

C(ρ-α+1) < Si(ρ+1)²

Si> C(ρ-α+1)/ (ρ+1)² (*)

(получили некоторое ограничение на величину запрашиваемого финансирования)

Предположим, что у предприятия изымается вся сверхплановая прибыль:

α=1

тогда. Если максимальный уровень рентабельности меньше единицы (ρмах<1), неравенство( *) будет выполняться всегда, если справедливо след соотношение:

Зi> (С* ρмах)/ (ρмах+1)²

(ρмах+1)² / ρмах >C/Зi

Предположим, что з1=з2=з3….зn=з

Тогда умножим обе части неравенства на 1/n:

(ρмах+1)² / n*ρ_мах >C/Зi*n

Вычтем из обеих частей единицу:

(ρ_мах+1)²/n* ρ_мах > ρ_мах+1

Сократим:

ρ_мах+1> n* ρ_мах

ρ_мах> -1/1-n

чтобы предприятия не завышали величину финансирования максимальный уровень рентабельности должен не превышать (1/n-1)

ρ_мах<1/n-1

таким образом, только для низко рентабельных договор можно надеяться, что принцип равных рентабельностей обеспечит достоверность сообщаемой информации.

 

Предположим, что не только забиваем всю сверхплановую прибыль, но еще и оштрафовали за завышение требуемого финансирования

α=1+δ , δ>0

Зi> C (ρ_мах-δ)/ (ρ_мах+1)²

(ρ_мах+1)²/(ρ_мах-δ) >C/З

Умножим на 1/n

(ρ_мах+1)²/n*(ρ_мах-δ) >C/З*n

Отнимем по единице

(ρ_мах+1)²/n*(ρ_мах-δ) > ρ_мах+1

ρ_мах+1> n*(ρ_мах-δ)

ρ_мах(1-n)> -n*δ-1

ρ_мах< n*δ+1 /n-1

допустим n=11, α=1 , тогда ρ_мах<0,1

если α=1,1 , δ=0,1, тогда ρ_мах< 0,21 ( случай когда штрафуем)

 

Определим оптимальную стратегию видения итого подразделения с учетом стратегии поведения других подразделений

dПi/dSi = (∑ⁿSi – Si)/(∑Si)² -α =0

(∑ⁿSi – Si)*C= α*(∑Si)²

(Si+∑ⁿSi – Si)C= α*(∑Si)²

∑Si=

 

Лекция 7 30.03.11

Материальное стимулирование коллектива подразделения фирмы

Различные подходы к анализу механизма стимулирования, исследуя на примере распределения премиального фонда внутри трудового коллектива подразделения фирмы.

Предположим, что все члены трудового коллектива выполняют некоторые производственные задания. По результатам своей деятельности коллектив получает некоторый премиальный фонд, этот фонд может образовываться за счет экономии материальных или энергоресурсов, сокращении брака выпускаемой продукции, за счет сокращения сроков выполнения работ и т.д.

Процедура распределения премиального фонда должна решать главную задачу - повышение эффективности работы коллектива, в частности эта процедура должна стимулировать увеличение объема выпуска продукции, повышение ее качества, сокращение издержек производства, сроков выполнения работы и т.д.

Основная идея, которая учитывается при рассмотрении систем материального стимулирования исполнителей это то что каждый человек стремится заработать как можно больше денег. При этом если условия оплаты его полностью устраивают, он начинает работать более эффективно.

В основу процедуры стимулирования ,зачастую, положена распределение фонда премирования на основе коэффициентов трудового участия. С нашей точки зрения задачей руководителя является выбор такой системы материального стимулирования, которая в наибольшей степени побуждает исполнителей работать с наибольшей интенсивностью. Процедура формирования коэффициента трудового участия может быть двух видов:

1. Формирования КТУ пропорционально тарифным разрядом (квалификации) членов трудового коллектива. До сих пор он широко распространен.

2. Формирование КТУ пропорционально трудовому вкладу каждого работника.

Первый подход имеет в виду, что тарифный разряд характеризует деятельность каждого работника, при этом полагается, что чем выше тарифный разряд, тем выше квалификация работника, поэтому тарифный разряд отражает эффективность работы каждого члена трудового коллектива, может быть использован для оценки его деятельности.

Второй подход учитывает вклад каждого работника в зависимости от индивидуальной производительности труда в общей объем работ трудового коллектива.

Модель трудового коллектива представим в виде двухуровневой организационной системы, состоящей из руководства (центр) и исполнителей (агенты).

Будем считать, что по результатам своей деятельности исполнитель получает премиальный фонд, он в свою очередь распределяется между ними в зависимости от выбранной процедуры распределения. Фонд премирования распределяется полностью и остается неизменным на протяжении нескольких периодов функционирования организационной системы.

Будем считать, что ri – показатель, который характеризует квалификацию итого элемента. (чем больше ri, тем выше квалификация).

Хi- показатель эффективности выполняемой работы итым исполнителем ( количество выпущенной продукции, показатель качества выпускаемой продукции)

Обозначим через Ф- премиальный фонд, который распределяется между членами трудового коллектива на основе коэффициентов трудового участия δi, очевидно, что дельта должна быть больше 0 δi≥0, а ∑δi=1, таким обраом премия итого исполнителя определяется как: Пi=δi*Ф.

Будем считать, что каждый исполнитель оценивает свой результат не по размеру полученной премии, а путем сравнения этой премии с возможно упущенным заработком (то есть той суммой денег, которую мог бы получить исполнитель, если бы он направил свои усилия не на повышение эффективности своей деятельности, а на получение заработка, например, на другом месте работы). Давайте обозначим через zi физические, умственные, национальные, временные и иные затраты исполнителя. Будем считать, что затраты имеют следующую зависимость : zi=xi/ri.

Обозначим через yi возможно упущенный заработок, при выполнении некого объема работ Аi, будем считать что объем этой работы пропорционален затратам: Аi=pi*xi/ri, где pi- коэффициент пропорциональности. Если через ci обозначить стоимость единицы работ, то тогда упущенный заработок это: yi=ci*pi*xi/ri , обозначим через ki следующую величину: ki=ci*pi/ri , если считать что все к одинаковы, то будем считать, что трудовой коллектив однородный (к1=к2=…=kn), если же к разные, то это случай неоднородного коллектива (ki≠kj).

При исследовании модели стимулирования предполагается, что каждый исполнитель стремится увеличить значение своей целевой функции по средствам выбора xi* - оптимального значения показателя эффективности своей деятельности. Тогда ∑xi* суммарный показатель эффективности будет характеризовать эффективность процедуры материального стимулирования. Предположим, что есть некая процедура 1 Пр1 и для нее есть свой ∑xi*, так же есть Пр2 и для нее свой ∑xi**, если же ∑xi**>∑xi* , то вторая процедура более эффективна, чем первая.

Распределение премии в однородном коллективе.