Естествознание и математика

Сущность математики и история ее развития

Наука не может ограничиться констатацией фактов и отдельных эмпирических законов. На определенном этапе ее развития необходим переход от чувственно-эмпирического исследования к рационально-теоретическому. На этой стадии выдвигаются гипотезы для объяснения фактов и эмпирических законов, установленных с помощью наблюдений и экспериментов. В процессе разработки и проверки гипотез приходится обращаться не только к логическим, но и к математическим методам. Поэтому естествознание тесно связано с математикой, которая, исследуя формы и отношения, встречающиеся в природе, обществе, а также в мышлении, отвлекается от содержания и исключает из допускаемых внутри нее аргументов наблюдение и эксперимент. Математику нельзя причислить к естествознанию или общественным наукам: естествознание непосредственно изучает природу, а математика изучает не сами объекты действительности, но математические объекты, которые могут иметь прообразы в действительности [21, 29].
Формирование математики как самостоятельной отрасли научного знания обычно относят к античности. В это время появляются различные представления о соотношении математических образов и реальных природных объектов, следовательно, о соотношении математики и естествознания [13]. Так, Платон считал, что понимание физического мира может быть достигнуто только с помощью математики, ибо «Бог вечно геометризует». Для Платона математика не просто посредник между идеями и данными чувственного опыта - математический порядок он считал точным отражением самой сути реальности. Наименьшие части элемента Земли он ставил в связь с кубом, наименьшие части элемента воздуха - с октаэдром (правильным многогранником с 8 треугольными гранями, 12 ребрами, 6 вершинами, в каждой из которых сходятся 4 ребра), элементы огня — с тетраэдром (правильной треугольной пирамидой, имеющей треугольные 4 грани, 6 ребер, 4 вершины, в каждой из которых сходятся 3 ребра), элементы воды - с икосаэдром (правильным многогранником с 20 треугольными гранями, 30 ребрами, 12 вершинами, в каждой из которых сходятся 5 ребер). Не было элемента, соответствующего додекаэдру (правильному многограннику, имеющему 12 пятиугольных граней, 30 ребер, 20 вершин, в каждой из которых сходятся 3 ребра), и Платон предположил, что существует пятый элемент, который боги использовали, чтобы создать Вселенную. Он конструировал свои правильные тела из двух видов треугольников - равностороннего и равнобедренного прямоугольного. Соединяя их, он получал грани правильных тел, которые можно разложить на треугольники, а из этих треугольников построить новые правильные тела. Например, по Платону, один атом огня и два атома воздуха в сочетании дают один атом воды. С его точки зрения, треугольники нельзя считать материей, т.е. они не имеют пространственного протяжения. А при объединении треугольников в правильные тела возникает частица материи. Поэтому наименьшие частицы материи представляют собой математические формы. Аристотель, подвергая взгляды Платона сомнению, придерживался другого мнения: он считал, что математические предметы не могут существовать отдельно.
Математика интенсивно развивалась в античности. Поворотным событием для дальнейшего развития научного знания стала работа Евклида «Начала», где впервые применялись доказательства. Эта математическая система была преподнесена как идеальная версия того, что составляло содержание реального мира. Значительно расширили математическое знание греки Александрийского периода: Аполлоний («Конические сечения»), Гиппарх, Менелай, Птолемей, Диофант («Арифметика») и т.д.
В средневековой Европе главенствующую роль заняла теологическая ветвь науки, а исследование природы любыми средствами, в том числе математическими, трактовалось как предосудительное занятие. Центр научной мысли переместился в Индию, а несколько позже - в арабские страны. В Индии того времени вводятся в широкое употребление десятичная позиционная система счисления и нуль для обозначения отсутствия единиц данного разряда, зарождается алгебра. В арабской культуре сохранялись математические знания древнего мира и Индии. Конец Средневековья (XV в.) в арабских странах отмечен деятельностью Улугбека, который при своем дворе в Самарканде создал обсерваторию, собрал более 100 ученых и организовал долго остававшиеся непревзойденными астрономические наблюдения, вычисление математических таблиц и т.п.
В XVII в. начинается новый период во взаимоотношениях математики и естествознания. Многие отрасли естествознания начинают базироваться на применении экспериментально-математических методов. В результате появляется уверенность в том, что научность (истинность, достоверность) знания определяется степенью его математизации. Так, Г. Галилей утверждал, что книга природы написана на языке математики, а согласно И. Канту, в каждом знании столько истины, сколько есть математики. Логическая стройность, строго дедуктивный характер построений, общеобязательность выводов создали математике славу образца научного знания.
Противоположного мнения о роли математики для раскрытия качественных особенностей придерживался великий писатель, мыслитель и естествоиспытатель И.В. Гёте, который воспринимал неживую природу и все живое (включая человека) как единое целое и придавал большое значение интуиции и опыту. Гёте считал, что световые и другие природные явления должны наблюдаться в их естественном виде, так как эксперимент и количественный анализ мало помогают в понимании подлинной их сущности: он полагал, что эта сущность познается только непосредственным опытом и интуицией.
В XIX в. с резкой критикой экспериментального изучения явлений природы выступил А. Шопенгауэр. Он не только поддерживал подход Гёте, но и вообще отрицал какую-либо пользу от применения математического языка к изучению природы. Даже сами математические доказательства Шопенгауэр называл «мышеловки», считая, что они не дают истинного представления о реальных процессах.
Многие выдающиеся ученые XX в., в особенности физики, говорили о значении математики как важнейшего средства для точного выражения научной мысли. Н. Бор указывал на огромную роль математики в развитии теоретического естествознания и говорил, что математика - это не только наука, но и язык науки. Р. Фейнман отмечал, что математика - это язык плюс мышление, как бы язык и логика вместе. Однако в то же время он считал, что такой науки, как математика, не существует.
Различные варианты тезиса Шопенгауэра о том, что математика не способствует, а затемняет понимание реальных явлений, характерны и для наших дней. Так, иногда противопоставляют объяснение явлений их пониманию, полагая, что количественный язык и методы математики в лучшем случае содействуют объяснению явлений неорганической природы, но не могут дать ничего ценного в понимании процессов культурно-исторической и духовной жизни. При этом понимание рассматривается как чисто интуитивная деятельность мышления, вследствие чего отрицается возможность использовать для его анализа логико-рациональные, в том числе математические, средства исследования. В настоящее время к применению количественного языка математики особенно критически настроены ученые, занимающиеся исследованием сложных биологических, психических и социальных процессов и привыкшие больше доверять опыту и интуиции, чем их математическому анализу.

return false">ссылка скрыта

Математика как специфический язык естествознания

Как бы то ни было, естествознание все шире использует математический аппарат для объяснения природных явлений [21, 29]. Можно выделить несколько направлений математизации естествознания:
◊ количественный анализ и количественная формулировка качественно установленных фактов, обобщений и законов конкретных наук;
◊ построение математических моделей (об этом несколько позже) и даже создание таких направлений, как математическая физика, математическая биология и т.д.;
◊ построение и анализ конкретных научных теорий, в частности их языка.

Рассмотрим математику как специфический язык науки, отличающийся от естественного языка, где, как правило, используют понятия, которые характеризуют определенные качества вещей и явлений (поэтому их часто называют качественными). Именно с этого начинается познание новых предметов и явлений. Следующий шаг в исследовании свойств предметов и явлений - образование сравнительных понятий, когда интенсивность какого-либо свойства отображается с помощью чисел. Наконец, когда интенсивность свойства или величины может быть измерена, т.е. представлена в виде отношения данной величины к однородной величине, взятой в качестве единицы измерения, тогда возникают количественные, или метрические, понятия.
Прогресс в научном познании часто связан с введением именно количественных понятий и созданием количественного языка, которые и исторически, и логически возникают на основе языка качественных описаний. Количественный язык выступает как дальнейшее развитие, уточнение и дополнение обычного, естественного языка, опирающегося на качественные понятия. Таким образом, количественные и качественные методы исследования не исключают, а скорее дополняют друг друга. Известно, что количественные понятия и язык использовались задолго до того, как возникло экспериментальное естествознание. Однако только после появления последнего они начинают применяться вполне сознательно и систематически. Язык количественных понятий наряду с экспериментальным методом исследования впервые успешно использовал Г. Галилей.
Преимущества количественного языка математики в сравнении с естественным языком состоят в следующем:
◊ такой язык весьма краток и точен. Например, чтобы выразить интенсивность какого-либо свойства с помощью обычного языка, нужно несколько десятков прилагательных. Когда же для сравнения или измерения используются числа, процедура упрощается. Построив шкалу для сравнения или выбрав единицу измерения, можно все отношения между величинами перевести на точный язык чисел. С помощью математического языка (формул, уравнений, функций и других понятий) можно гораздо точнее и короче выразить количественные зависимости между самыми разнообразными свойствами и отношениями, характеризующими процессы, которые исследуются в естествознании. С этой целью используются методы математики, начиная от дифференциального и интегрального исчисления и кончая современным функциональным анализом;
◊ опираясь на крайне важные для познания законы науки, которые отображают существенные, повторяющиеся связи предметов и явлений, естествознание объясняет известные факты и предсказывает неизвестные. Здесь математический язык выполняет две функции: с помощью математического языка точно формулируются количественные закономерности, характеризующие исследуемые явления; точная формулировка законов и научных теорий на языке математики дает возможность при получении из них следствий применить богатый математический и логический аппарат.
Все это показывает, что в любом процессе научного познания существует тесная взаимосвязь между языком качественных описаний и количественным математическим языком. Эта взаимосвязь конкретно проявляется в сочетании и взаимодействии естественно-научных и математических методов исследования. Чем лучше мы знаем качественные особенности явлений, тем успешнее можем использовать для их анализа количественные математические методы исследования, а чем более совершенные количественные методы применяются для изучения явлений, тем полнее познаются их качественные особенности.
Математика в естествознании:
◊ играет роль универсального языка, специально предназначенного для лаконичной точной записи различных утверждений. Конечно, все, что можно описать языком математики, поддается выражению на обычном языке, но тогда изъяснение может оказаться чересчур длинным и запутанным;
◊ служит источником моделей, алгоритмических схем для отображения связей, отношений и процессов, составляющих предмет естествознания. С одной стороны, любая математическая схема или модель - это упрощающая идеализация исследуемого объекта или явления, а с другой - упрощение позволяет ясно и однозначно выявить суть объекта или явления.
Поскольку в математических формулах и уравнениях отражены некие общие свойства реального мира, они повторяются в разных его областях. На этом свойстве построен такой своеобразный метод естественно-научного познания, как математическая гипотеза, когда к готовым математическим формам пытаются подобрать конкретное содержание. Для этого в подходящее уравнение из смежных областей науки подставляют величины другой природы, а затем производят проверку на совпадение с характеристиками исследуемого объекта. Эвристические возможности этого метода достаточно велики. Так, с его помощью были описаны основные законы квантовой механики: Э. Шрёдингер, приняв волновую гипотезу движения элементарных частиц, нашел уравнение, которое формально не отличается от уравнения классической физики колебаний нагруженной струны, дал его членам совершенно иную интерпретацию (квантово-механическую). Это позволило Шрёдингеру получить волновой вариант квантовой механики.

Приложение математики к разным отраслям естествознания

Приложения математики весьма разнообразны. По мнению акад. А.Н. Колмогорова, область применения математического метода принципиально не ограничена [13]. В то же время роль и значение математического метода в различных отраслях естествознания неодинаковы. Дело в том, что математические методы применимы для объектов и явлений, обладающих качественной однородностью и вследствие этого количественно и структурно сравнимых. Именно со сложностью выявления качественной однородности групп объектов и явлений связана трудность получения математических формул и уравнений для объектов естествознания. Чем более сложными и качественно различными являются природные объекты и явления, тем труднее их сравнивать количественно, т.е. тем труднее они поддаются математизации.
Математический метод полностью господствует в небесной механике, в частности в учении о движении планет. Имеющий очень простое математическое выражение закон всемирного тяготения почти полностью определяет изучаемый здесь круг явлений. Каждый результат, полученный на основе математического метода, с высокой точностью подтверждается в действительности.
В физике тоже велика роль математического метода. Почти не существует области физики, не требующей употребления развитого математического аппарата. Основная трудность исследования заключается не в применении математической теории, а в выборе предпосылок для математической обработки и в истолковании результатов, полученных математическим путем.
В химии для исследования закономерностей также широко используются математические методы. Это возможно потому, что при всем различии свойств химических элементов все они обладают и общей характеристикой - атомным весом. Сравнение элементов по этому признаку позволило Д.И. Менделееву построить Периодическую систему элементов. На выделении общих свойств химических веществ и соединений обычно и основывается применение математических методов в химии.
В биологических науках и науках о Земле математические методы часто играют подчиненную роль вследствие множества специфических свойств изучаемых здесь систем. Это затрудняет поиски качественной однородности среди них и соответственно математизацию этих наук. Однако и здесь есть высокоматематизированные отрасли, опирающиеся на изучение физических основ природных явлений (геофизика, биофизика и т.д.).
Таким образом, роль математизации в современном естествознании очень велика, и нередко новая теоретическая интерпретация какого-либо явления в естествознании считается полноценной, если удается создать математический аппарат, отражающий основные его закономерности. Однако не следует думать, что все естествознание в итоге будет сведено к математике. Построение различных формальных систем, моделей, алгоритмических схем — лишь одна из сторон развития научного знания, а естествознание развивается прежде всего как содержательное знание. Не удается формализовать сам процесс выдвижения, обоснования и опровержения гипотез, научную интуицию. Глубина объяснения и достоверность предсказания зависят в первую очередь от тех конкретных посылок, на которые они опираются, и математизация не может восполнить пробел в отсутствии такого рода посылок. Знаменитый естествоиспытатель Т. Гексли говорил, что математика, подобно жернову, перемалывает то, что под него засыпают, и, как, засыпав лебеду, вы не получите пшеничной муки, так, исписав целые страницы формулами, вы не получите истины из ложных предположений. А по мнению известного математика акад. Ю.А. Митропольского, применение математики к другим наукам имеет смысл только в единении с глубокой теорией конкретного явления, иначе можно сбиться на простую игру в формулы, за которой нет реального содержания.

ЛИТЕРАТУРА

Белик А.П. Культурология. Антропологические теории культур. М., 1998.
Букановский В.М. Принципы и основные черты классификации современного естествознания. Пермь, 1960.
Грядовой Д.И. Концепции современного естествознания. Структурный курс основ естествознания. М., 2000.
Кедров Б.М. Предмет и взаимосвязь естественных наук. М., 1967.
Концепции современного естествознания /Под ред. В.Н. Лавриненко, В.П. Ратникова. М., 1997.
Кузнецов Б.И., Идлис Г.М., Гутина В.Н. Естествознание. М., 1996.