Асимптоты графика функции.

Волгодонск

Конспект лекции №6

по теме:

«Асимптоты кривых. Общая схема исследования функции»

 

Определение: Прямая l называется асимптотой графика функции , если расстояние от точки М на графике до прямой l стремится к нулю при удалении точки М по графику функции от начала координат.

Асимптоты бывают вертикальные, горизонтальные, наклонные.

 

Вертикальной асимптотой называется прямая x=a, если .

Находят вертикальную асимптоту по точкам разрыва второго рода (бесконечный разрыв).

 

Наклонной асимптотой называется асимптота, уравнение которой имеет вид: .

Оказывается, что если является асимптотой, то и в уравнении определяются следующим образом , .

Доказательство:

 

По определению асимптоты: если ОМ , то |MN|0.

Þ |MQ|→0 при x→±∞, т.к. .

По чертежу: .

 

Перейдем к пределу при x→±∞:

 

(*)

Þ .

.

Из (*) Þ .

Ч.т.д.

Замечание 1: Чтобы у кривой были наклонные асимптоты, нужно, чтобы соответствующие пределы в определении k и b были конечными, причем предел при x→+∞ и предел при x→-∞ нужно вычислять отдельно.

Замечание 2: Если k=0, то y=b. Наклонная асимптота в этом случае называется горизонтальной.

Замечание 3: Кривая никогда не пересекает вертикальную асимптоту, а горизонтальные и наклонные асимптоты кривая может пересекать и даже бесконечное число раз.

Пример: Найти асимптоты графика функции .

D(y): x¹3.

Þ x=3 – точка разрыва.

— вертикальная асимптота.

=;

== ==3 Þ .

 

Þ — наклонная асимптота.