Другие подходы к построению эпюр внутренних силовых факторов

Рис.6.7

Рис.6.6

Рис.6.5

Пример 5.

Рис.6.4

Пример 4.

Балки на двух опорах

В отличие от консольных балок, при расчете балок на двух шарнирных опорах необходимо сначала определить опорные реакции из уравнений статики, так как и в левую, и в правую отсеченные части для любого сечения, расположенного между опорами, попадает соответствующая реакция.

Для плоской системы число уравнений статики в общем случае равно трем. Если балка загружена только вертикальными нагрузками, то горизонтальная реакция шарнирно-неподвижной опоры равна нулю, и одно из уравнений равновесия обращается в тождество. Таким образом, для определения реакций в опорах шарнирной балки используются два уравнения статики:

 

Условие используется для проверки вычисленных значений опорных реакций.

Рассмотрим примеры построения эпюр Qy и Mx.

z1

Для балки, изображенной на рис.6.4 построить эпюры поперечной силы Qy и изгибающего момента Mx и определить опасное сечение. Пусть величины P = 10 кН, a = 2 м, b = 3 м.

Решение.

Определим реакции опор. Запишем уравнения равновесия статики. Из этих уравнений получим:

 

кН.

кН.

Для проверки правильности определения реакции опор используем уравнение:

; .

6 – 10 + 4 = 0,

0 º 0.

Значит, реакции определены правильно.

Определим внутренние усилия, возникающие в материале балки. Следует рассмотреть два участка, границами участков являются точки приложения сосредоточенной силы Р и опорных реакций RA и RB. Обозначим границы участков буквами А, С и В.

Рассечем первый участок АС.

Отбросим правую часть, т.к. она сложнее.

Заменим отброшенную часть внутренними усилиями Qy и Mx.

Уравновесим отсеченную часть, запишем уравнения равновесия:

 

Вычислим Qy и Mx в граничных точках участка:

при z1 = 0, Qy1 = RA = 6 кН, Mx1 = 0;

при z1 = а = 2 м, Qy1 = RA = 6 кН, Mx1 = 12 кНм.

 

Рассмотрим второй участок СВ. Рассечем его и отбросим левую часть, заменим её внутренними силами. Из уравнений равновесия получим

 

Вычислим Qy и Mx в граничных точках участка:

при z2 = 0, Qy2 = - RВ = - 4 кН, Mx2 = 0;

при z2 = а = 3 м, Qy2 = - RВ = - 4 кН, Mx2 = 12 кНм.

Построим эпюры Qy и Mx.

По полученным эпюрам определим опасное сечение, оно проходит через точку приложения силы P, так как Mx достигает там наибольшего значения.

Для представленной на рис.6.5 балки построить эпюры внутренних сил, найти опасные сечения.

 

 

Решение.

Определим реакции опор. Заменим распределенную нагрузку q её равнодействующей G=2qa, приложим G в середине участка АС (рис.6.6).

Запишем уравнение равновесия.

;

;

.

 

Отсюда находим:

; .

Выполним проверку правильности определения реакций опор.

;

;

0 º 0.

Используя метод сечений, рассмотрим сечения участков балки (рис.6.7).

1 участок:

;

.

.

Вычислим Qy1 и Mx2 на границах участка.

z=0, , ;

z=2a, , ;

2 участок:

;

.

;

.

На границах участка получим

z=0, , ;

z=a, , ;

 

Построим эпюры Qy и Mx на участках. Из выражений для внутренних усилий следует, что Qy, эпюра является прямолинейной как на первом, так и на втором участках, в то время как эпюра Мх на первом участке квадратичная парабола, а на втором прямая линия. Для построения эпюры Мх на первом участке следует либо вычислить её значения в нескольких точках, либо исследовать функцию на экстремум и определить его.

Как известно из курса математического анализа, для определения экстремума функции следует определить ее первую производную, приравняв ее нулю найти аргумент, затем его значение подставить в функцию и вычислить экстремум функции.

,

,

,

 

.

Отложим значение Мх max и построим эпюру изгибающего момента на первом участке по трем точкам (рис.6.5).

По эпюре находим опасное сечение. Им является сечение, где .

 

 

Пример 6.Построить эпюры для балки с шарнирным опиранием (рис.6.8).

Порядок расчета.

1. Вычисляем реакции опор.

 

Проверка:

 

2. Намечаем характерные сечения.

В отличие от консольных балок здесь известны обе опорные реакции, поэтому для любого сечения можно рассматривать как левую, так и правую отсеченную часть.

3. Определяем поперечные силы в характерных сечениях.

 

Строим эпюру .

4. Определяем изгибающие моменты в характерных сечениях.

 

 

Рис. 6.8

Строим эпюру

Пример 7. Построить эпюры и для балки на двух опорах с консолью (рис.6.9,а)

Порядок расчета.

1. Вычисляем опорные реакции.

 

Во втором уравнении равновесия (впрочем, как и в первом) момент от распределенной нагрузки вычислен без разбиения ее на две части - слева и справа от опоры В, то есть определена равнодействующая нагрузки - ×3, ее положение (в середине участка с распределенной нагрузкой), что позволяет определить плечо равнодействующей относительно опоры В и направление создаваемого ею момента. В то же время можно было в уравнении равновесия учитывать отдельно части нагрузки , приложенные слева и справа от опоры В; при этом второе уравнение равновесия имеет вид:

 

 

Рис.6.9

Вычисленное из этого уравнения значение реакции , разумеется, совпадает с полученным ранее.

Проверка:

 

2. Намечаем характерные сечения.

3. Вычисляем поперечную силу и изгибающий момент в характерных сечениях.

Из рассмотрения левой отсеченной части:

 

Для сечений 5-7 удобнее рассматривать правую отсеченную часть:

 

По вычисленным значениям строим эпюры и (рис.6.9,б,в).

Правила контроля эпюр Qу и Mx

Дифференциальные зависимости между определяют ряд закономерностей, которым подчиняются эпюры и .

1. Эпюра является прямолинейной на всех участках; эпюра - криволинейная (квадратная парабола) на участке под равномерно распределенной нагрузкой, причем, выпуклость кривой всегда обращена навстречу нагрузке , и прямолинейная на всех остальных участках.

2. Под точкой приложения сосредоточенной силы (реакции) на эпюре обязательно должен быть скачок на величину этой силы (реакции). Аналогично, под точкой приложения сосредоточенного момента на эпюре обязателен скачок на величину момента.

3. Если на участке под распределенной нагрузкой эпюра пересекает ось , то эпюра в этом сечении имеет экстремум.

4. На участках с поперечной силой одного знака эпюра имеет одинаковую монотонность. Так, при эпюра возрастает слева направо; при - убывает.

5. Порядок линии на эпюре всегда на единицу меньше, чем на эпюре . Например, если эпюра - квадратная парабола, то эпюра на этом участке - наклонная прямая; если эпюра - наклонная прямая, то эпюра на этом участке - прямая, параллельная оси; если (прямая, параллельная оси), то на этом участке .

Помимо описанного выше, можно выделить еще два подхода к построению эпюр. В первом случае намечают не характерные сечения, а характерные точки, в качестве которых выделяют точки приложения сосредоточенных сил и моментов, а также точки начала и конца участков с распределенными нагрузками. Затем определяют величину внутреннего силового фактора слева и справа (бесконечно близко) от характерной точки.

Другой возможный подход состоит в том, что балка разбивается на участки (с распределенными нагрузками и между точками приложения сил и моментов). Для каждого участка записывается выражение внутреннего силового фактора в общем виде как функции координаты z . Затем вычисляются значения на концах каждого участка.

Очевидно, что при обоих подходах в конечном счете все сводится к вычислению внутренних силовых факторов в характерных сечениях, то есть соответствует описанному выше способу, но требует дополнительной, как правило неоправданной, работы.

Правда, следует отметить, что запись общих выражений как функций от z удобна при программировании построения эпюр при помощи вычислительной техники.