Консольные балки

Построение эпюр поперечной силы и изгибающего момента

Лекция 6. Плоский изгиб

Изгибом называется вид нагружения бруса, при котором к нему прикладывается момент, лежащий в плоскости проходящей через продольную ось. В поперечных сечениях бруса возникают изгибающие моменты.

Изгиб называется плоским, если плоскость действия момента проходит через главную центральную ось инерции сечения.

Если изгибающий момент M_x является единственным внутренним силовым фактором, то такой изгиб называется чистым. При наличии поперечной силы изгиб называется поперечным.

Брус, работающий при изгибе, называется балкой.

Поперечная сила в сечении численно равна алгебраической сумме проекций внешних сил, приложенных по одну сторону от рассматриваемого сечения, на поперечную (вертикальную) ось.

Правило знаков для : условимся считать поперечную силу в сечении положительной, если внешняя нагрузка, приложенная к рассматриваемой отсеченной части, стремится повернуть данное сечение по часовой стрелке и отрицательной - в противном случае.

Схематически это правило знаков можно представить в виде:

 

Изгибающий момент в сечении численно равен алгебраической сумме моментов внешних сил, приложенных по одну сторону от рассматриваемого сечения, относительно оси x , проходящей через данное сечение.

Правило знаков для : условимся считать изгибающий момент в сечении положительным, если внешняя нагрузка, приложенная к рассматриваемой отсеченной части, приводит к растяжению в данном сечении нижних волокон балки и отрицательной - в противном случае.

Схематически это правило знаков можно представить в виде:

 

Следует отметить, что при использовании правила знаков для в указанном виде, эпюра всегда оказывается построенной со стороны сжатых волокон балки.

При построении эпюр и в консольных, или жестко защемленных, балках нет необходимости вычислять опорные реакции, возникающие в жесткой заделке, но выбирать отсеченную часть нужно так, чтобы заделка в нее не попадала.

Пример 1. Рассмотрим балку длиной l защемленную одним концом и находящуюся под действием сосредоточенной силы Р (рис.6.1). Пусть для определенности Р=4 кН, l = 2 м.

Определим внутренние силовые факторы, возникающие в балке. Воспользуемся методом сечением.

Рассечем балку поперечным сечением в произвольном месте.

Отбросим правую часть.

Заменим ее действие внутренними усилиями N - вдоль оси z, Q_y - вдоль оси y и моментом M_x – в плоскости осей yz вокруг оси х. На рис.6.2 в соответствии с принятым правилом знаков показаны положительные направления внутренних силовых факторов.

Уравновесим отсеченную часть. Запишем уравнения статического равновесия, получим

 

Из первого уравнения видно, что нормальная сила N при изгибе равна нулю, далее не будем ее определять.

Построим эпюры поперечной силы Q_y и изгибающего момента M_x вдоль длины балки.

Поперечная сила постоянна по всей длине балки и равна Q_y = P = 4 кН. Отложим на графике линию параллельную оси z.

Изгибающий момент М_х изменяется в зависимости от расстояния z. Вычислим его значение в двух точках: в начале z = 0 и в конце балки z = l = 2 м.

z = 0 (М_х = 0); z = 2 м (М_х = 8 кНм).

Построим по точкам график М_х.

Построение эпюр поперечной силы Q_y и изгибающего момента M_x является одним из основных этапов при расчете конструкций на изгиб. По эпюрам Q_y и M_x определяется опасное сечение, т.е. сечение в котором может произойти разрушение.

Опасным сечением называется сечение, в котором изгибающий момент достигает наибольшего по модулю значения.

В некоторых случаях опасным сечением может быть также сечение, где наибольшего значения достигает поперечная сила . В данном случае опасным является место закрепления балки.

Пример 2. Построить эпюры и (рис.6.2).

 

Рис. 6.2

Порядок расчета.

1. Намечаем характерные сечения.

2. Определяем поперечную силу в каждом характерном сечении.

 

По вычисленным значениям строим эпюру .

3. Определяем изгибающий момент в каждом характерном сечении.

 

По вычисленным значениям строим эпюру , причем, на участке под распределенной нагрузкой эпюра будет криволинейной (квадратная парабола). Выпуклость кривой на этом участке всегда обращена навстречу распределенной нагрузке.

 

Дифференциальные зависимости между

Указанные зависимости используются при построении эпюр , поэтому приведем их здесь без соответствующего вывода, который дается в лекционном курсе.

 

Пример 3. Построить эпюры (рис.6.3).

В данном случае для правильного построения эпюры необходимо использовать приведенные выше дифференциальные зависимости.

Порядок расчета.

1. Намечаем характерные сечения.

2. Определяем поперечные силы в характерных сечениях.

 

3. Строим эпюру .

Характер эпюры, то есть тот факт, что эпюра пересекает ось, говорит о том, что в этом сечении момент будет иметь экстремальное значение. Действительно, пересечение эпюры с осью z означает, что в этом сечении , а из курса математики известно, что если производная функции равна нулю, то сама функция в данной точке имеет экстремальное значение.

Для определения положения “нулевого” сечения необходимо величину расположенной слева от него ординаты эпюры разделить на интенсивность распределенной нагрузки q:

 

 

Рис. 6.3

Определяем изгибающие моменты в характерных сечениях.

 

4. Вычисляем экстремальное значение изгибающего момента в сечении, где :

Строим эпюру .