Тейлор (1685-1731) – английский математик

 

Теорема Тейлора. 1) Пусть функция f(x) имеет в точке х = а и некоторой ее окрестности производные порядка до (n+1) включительно.{ Т.е. и все предыдущие до порядка n функции и их производные непрерывны и дифференцируемы в этой окрестности}.

2) Пусть х- любое значение из этой окрестности, но х ¹ а.

Тогда между точками х и а найдется такая точка e, что справедлива формула:

 

- это выражение называется формулой Тейлора, а выражение:

 

 

называется остаточным членом в форме Лагранжа.

 

Доказательство. Представим функцию f(x) в виде некоторого многочлена P_n(x), значение которого в точке х = а равно значению функции f(x), а значения его производных равно значениям соответствующих производных функции в точке х = а.

 

(1)

 

Многочлен P_n(x) будет близок к функции f(x). Чем больше значение n, тем ближе значения многочлена к значениям функции, тем точнее он повторяет функцию.

Представим этот многочлен с неопределенными пока коэффициентами:

 

(2)

Для нахождения неопределенных коэффициентов вычисляем производные многочлена в точке х = а и составляем систему уравнений:

 

(3)

 

Решение этой системы при х = а не вызывает затруднений, получаем:

…………………….

Подставляя полученные значения C_i в формулу (2), получаем:

 

 

Как было замечено выше, многочлен не точно совпадает с функцией f(x), т.е. отличается от нее на некоторую величину. Обозначим эту величину R_n+1(x). Тогда:

 

f(x) = P_n(x) + R_n+1(x)

 

Теорема доказана.

 

Рассмотрим подробнее величину R_n+1(x).

 

y Как видно на рисунке, в

точке х = а значение мно-

f(x) R_n+1(x) гочлена в точности совпа-

дает со значением функции.

P_n(x) Однако, при удалении от точ-

ки х = а расхождение значе- ний увеличивается.

0 a x x

 

Иногда используется другая запись для R_n+1(x). Т.к. точка eÎ(a, x), то найдется такое число q из интервала 0 < q < 1, что e = a + q(x – a).

Тогда можно записать:

Тогда, если принять a = x₀, x – a = Dx, x = x₀ + Dx, формулу Тейлора можно записать в виде:

 

где 0 < q < 1

 

Если принять n =0, получим: f(x₀ + Dx) – f(x₀) = f¢(x₀ + qDx)×Dx – это выражение называется формулой Лагранжа. (Жозеф Луи Лагранж (1736-1813) французский математик и механик).

Формула Тейлора имеет огромное значение для различных математических преобразований. С ее помощью можно находить значения различных функций, интегрировать, решать дифференциальные уравнения и т.д.

При рассмотрении степенных рядов будет более подробно описаны некоторые особенности и условия разложения функции по формуле Тейлора.

 

Формула Маклорена.

 

Колин Маклорен (1698-1746) шотландский математик.

 

Формулой Маклоренаназывается формула Тейлора при а = 0:

 

 

Мы получили так называемую формулу Маклорена с остаточным членом в форме Лагранжа.

Следует отметить, что при разложении функции в ряд применение формулы Маклорена предпочтительнее, чем применение непосредственно формулы Тейлора, т.к. вычисление значений производных в нуле проще, чем в какой- либо другой точке, естественно, при условии, что эти производные существуют.

 

Однако, выбор числа а очень важен для практического использования. Дело в том, что при вычислении значения функции в точке, расположенной относительно близко к точке а, значение, полученное по формуле Тейлора, даже при ограничении тремя – четырьмя первыми слагаемыми, совпадает с точным значением функции практически абсолютно. При удалении же рассматриваемой точки от точки а для получения точного значения надо брать все большее количество слагаемых формулы Тейлора, что неудобно.

Т.е. чем больше по модулю значение разности (х – а) тем более точное значение функции отличается от найденного по формуле Тейлора.

Кроме того, можно показать, что остаточный член R_n+1(x) является бесконечно малой функцией при х®а, причем долее высокого порядка, чем (х – а)^m, т.е.

 

.

Таким образом, ряд Маклорена можно считать частным случаем ряда Тейлора.

 

 

Представление некоторых элементарных функций

по формуле Тейлора.

Применение формулы Тейлора для разложения функций в степенной ряд широко используется и имеет огромное значение при проведении различных математических расчетов. Непосредственное вычисление интегралов некоторых функций может быть сопряжено со значительными трудностями, а замена функции степенным рядом позволяет значительно упростить задачу. Нахождение значений тригонометрических, обратных тригонометрических, логарифмических функций также может быть сведено к нахождению значений соответствующих многочленов.

Если при разложении в ряд взять достаточное количество слагаемых, то значение функции может быть найдено с любой наперед заданной точностью. Практически можно сказать, что для нахождения значения любой функции с разумной степенью точности (предполагается, что точность, превышающая 10 – 20 знаков после десятичной точки, необходима очень редко) достаточно 4-10 членов разложения в ряд.

Применение принципа разложения в ряд позволяет производить вычисления на ЭВМ в режиме реального времени, что немаловажно при решении конкретных технических задач.

 

 

Функция f(x) = e^x.

 

Находим: f(x) = e^x, f(0) = 1

f¢(x) = e^x, f¢(0) = 1

……………………

f⁽ⁿ⁾(x) = e^x, f⁽ⁿ⁾(0) = 1

Тогда:

 

 

Пример: Найдем значение числа е.

В полученной выше формуле положим х = 1.

 

Для 8 членов разложения: e = 2,71827876984127003

Для 10 членов разложения: e = 2,71828180114638451

Для 100 членов разложения: e = 2,71828182845904553

 

Для достижения точности, достаточной для решения большинства практических задач, можно ограничиться 6-7 – ю членами ряда.

 

 

Функция f(x) = sinx.

Получаем f(x) = sinx; f(0) = 0

f¢(x) = cosx = sin( x + p/2); f¢(0) = 1;

f¢¢(x) = -sinx = sin(x + 2p/2); f¢¢(0) = 0;

f¢¢¢(x) = -cosx = sin(x + 3p/2); f¢¢¢(0)=-1;

…………………………………………

f⁽ⁿ⁾(x) = sin(x + pn/2); f⁽ⁿ⁾(0) = sin(pn/2);

f⁽ⁿ⁺¹⁾(x) = sin(x + (n + 1)p/2); f⁽ⁿ⁺¹⁾(e) = sin(e + (n + 1)p/2);

Итого:

 

Функция f(x) = cosx.

 

Для функции cosx, применив аналогичные преобразования, получим:

 

 

 

Функция f(x) = (1 + x)^a.

(a - действительное число)

 

…………………………………………………..

 

Тогда:

 

 

Если в полученной формуле принять a = n, где n- натуральное число и f⁽ⁿ⁺¹⁾(x)=0, то R_n+1 = 0, тогда

 

 

Получилась формула, известная как бином Ньютона.

 

Пример: Применить полученную формулу для нахождения синуса любого угла с любой степенью точности.

На приведенных ниже графиках представлено сравнение точного значения функции и значения разложения в ряд Тейлора при различном количестве членов разложения.