Потенциальная энергия деформации при кручении.

Рис. 5.8.

Касательные напряжения в разрезной трубе, представляющей собой тонкостенный стержень, определим по формуле

 

где h=πd - развернутая длина осевой линии трубы.

Напряжение в сплошной трубе определяется по формуле

 

Угол закручивания на метр длины для разрезной трубы определяется по формуле

 

Погонный угол закручивания для сплошной трубы определяется по формуле

 

Таким образом, в сплошной трубе по сравнению с разрезанной вдоль образующей при кручении напряжения меньше в 58.3 раза, а угол закручивания – в 1136 раз.

 

Пример 5. Подобрать диаметр сплошного вала, передающего мощность N=450 л.с. при частоте вращения n=300 об/мин. Угол закручивания не должен превышать одного градуса на 2 метра длины вала; [τ]=40 МПа, G=8·10⁴ МПа.

Крутящий момент определяем из уравнения

 

Диаметр вала по условию прочности определяется из уравнения

 

Диаметр вала по условию жесткости определяется из уравнения

 

Выбираем больший размер 0,112 м.

 

Пример 6. Имеются два равнопрочных вала из одного материала, одинаковой длины, передающих одинаковый крутящий момент; один из них сплошной, а другой полый с коэффициентом полости α=0.8. Во сколько раз сплошной вал тяжелее полого?

Равнопрочными валами из одинакового материала считаются такие валы, у которых при одинаковых крутящих моментах, возникают одинаковые максимальные касательные напряжения, то есть

.

Условие равной прочности переходит в условие равенства моментов сопротивления:

.

Откуда получаем:

.

Отношение весов двух валов равно отношению площадей их поперечных сечений:

.

Подставляя в это уравнение отношение диаметров из условия равной прочности, получим

.

Как показывает этот результат, полый вал, будучи одинаковым по прочности, вдвое легче сплошного. Это объясняется тем, что в силу линейного закона распределения касательных напряжений по радиусу вала, внутренние слои относительно мало нагружены.

 

Пример 7. Имеются два равнопрочных вала из одного материала, одинаковой длины, передающие одинаковый крутящий момент; один из них круглого поперечного сечения, а другой - квадратного. Во сколько раз квадратный вал тяжелее круглого?

Условие равной прочности имеет следующий вид:

,

где W_к=αhb²; значение коэффициента α определяется по таблице (см. Справочные данные) и составляет для квадратного сечения (b=h) α=0.208.

Из условия равной прочности получаем:

.

Отношение весов двух валов равно отношению площадей их поперечных сечений:

.

Подставляя в это уравнение отношение b/D из условия равной прочности, получим

.

Элементарная работа статически приложенного внешнего момента Т на перемещении равна:

.

При чистом кручении М_к = Т и .

Потенциальная энергия деформации

;

интегрируя выражение для элементарной работы по всей длине l стержня, получим

.

При М_к = const и = const, получим

.