Силовые соотношения в прямозубых эвольвентных зубчатых передачах

Поломка зубьев при статических и динамических перегрузках.

Виды повреждений зубьев.

ЛЕКЦИЯ № 19

Расчёт зубчатых колёс на прочность

Практика эксплуатации зубчатых передач показывает, что основными причинами повреждений зубьев являются неправильный расчёт, низкое качество изготовления и сборки, нарушения правил эксплуатации.

Зуб отламывается у основания. При многократно меняющей знак нагрузке зуб ломается вследствие появления трещин. Виды повреждений зависят от вида передач (открытые и закрытые передачи). Закрытые передачи работают в герметически закрытом и наполненном маслом корпусе. Открытые передачи либо совсем незакрыты, либо имеют кожух, защищающий от пыли и влаги.

2. Выкрашивание поверхности зубьев.

Чаще всего проявляется в закрытых передачах. При знакопеременных нагрузках появляются трещины. При контакте зубьев масло, попадая в трещины, работает как клин. Это явление называется питтингом.

3. Абразивный износ получается в передачах, работающих в загрязнённой атмосфере. В результате износа возникают большие зазоры, приводящие к появлению ударов.

4. Заедание зубьев.

Наблюдается при увеличении шага и скорости. В этом случае зубья нагреваются и получается «местное приваривание» с дальнейшим отрывом. В таких передачах проводят расчёт на нагрев.

5. Повреждение торцёв колёс.

Наблюдается в коробках скоростей при включении и выключении колёс на ходу. В этом случае рекомендуется использовать синхронизаторы вращения.

6. Пластическая текучесть материала.

Наблюдается в нагруженных передачах при небольших скоростях. Вблизи полюса зацепления на зубьях возникают складки.

С учётом особенностей открытых и закрытых передач расчёты производятся в следующей последовательности: для открытых передач расчёт зубьев на изгиб и проверочный расчёт на контактную прочность, а для закрытых – расчёт зубьев на контактную прочность и проверочный расчёт зубьев на изгиб.

 

 

qn - нормальная распределённая нагрузка [Н];

Fn - нормальная сила [Н];

Fпр - нормальная расчётная сила, учитывающая дополнительные нагрузки [Н];

k - коэффициент нагрузки ( );

kк - коэффициент концентрации нагрузки (неточность изготовления колёс, наличие упругих деформаций, толчков и ударов в процессе зацепления);

kd- коэффициент динамичности нагрузки (влияние инерции зубчатых колёс, возникающей при пусках, разгонах, торможении и останове).

Нормальная распределённая нагрузка определяется по формуле:

.

Нормальная расчётная сила определяется по формуле:

, где .

19.3 Расчёт зубчатых передач на изгиб зубьев

Принимаем, что известны числа зубьев z1 и z2 колёс передачи и момент нагрузки M2на ведомом колесе. Неизвестным является модуль m, от которого зависит геометрический размер колёс. Для его определения рассмотрим расчётную схему (рис. 22.2), соответствующую случаю, когда напряжения в основании зуба наибольшие.

Принимаем, что расчётная сила Fпр приложена вдоль линии зацепления в вершине зуба. Считаем, что сила трения Fтр пренебрежимо мала, и в зацеплении находится один зуб. Зуб рассматривается как консольная балка, защемлённая у основания. Неточность расчёта компенсируется эмпирическими коэффициентами.

Расчёт ведётся для наихудшего случая, который соответствует приложению расчётной силы Fпр в точке B, так как именно в этой точке плечо изгибающего момента максимально. Для упрощения вычислений принимают коэффициент перекрытия x равным единице. Приложение силы Fпр переместим в точку A на оси симметрии зуба.

В проекциях на ось симметрии зуба можем получить:

Fизг = Fпр . cosa - изгибающая сила;

Fсж = Fпр . sina - сжимающая сила.

Обозначим плечо, на котором действует сила за hp.

 


 

Рис. 22.2  

 


Для дальнейшего упрощения Fизг заменяют условной касательной силой F, действующей на делительной окружности в процессе передачи крутящего момента M ведущим колесом.

Fизг = F = M/r, где r = d/2.

Эпюры напряжений изгиба sизг, сжатия sсж и результирующего напряжения sр показаны на рис. 6.2.

Расчёт ведём по результирующему напряжению по волокнам материала, испытывающему растяжение, то есть для точки B. Опыт показывает, что именно в этом месте зуба начинается его разрушение, приводящее к излому, несмотря на то, что с противоположной стороны напряжение по абсолютному значению больше (напряжение сжатия материала зуба).

Результирующее напряжение в точке B:

 

M - изгибающий момент от силы Fпр . cosa’ ;

a’ - угол профиля зуба в вершине, отличающийся от угла в точке профиля зуба на делительной окружности;

b - ширина зубчатого венца колеса;

s - толщина зуба в опасном сечении.

Учитывая, что

M = Fпр . hp . cosa’ и

, получаем:

 

Произведём замену силы Fпр моментом M, умножим правую часть выражения на m/m:

 

Величина в скобках числителя безразмерная. Она зависит от числа зубьев и смещения инструмента, изменяющего толщину зуба в опасном сечении. В связи с этим выражение, входящее в предыдущую формулу:

,

называют коэффициентом прочности зуба.

Вводя этот коэффициент, получаем:

.

 

 

Произведём замену b = ym . m, тогда:

.

Формулу используют при проверочных расчётах, когда имеется возможность применить готовую передачу с известными размерами.

Находим выражение для модуля:

.

Полученную формулу используют при проектировочных расчётах.

Коэффициент ym = 3…16 для прямозубых колёс; ym = 10…25 для косозубых колёс.

Значения коэффициента прочности зуба YF можно определить по таблицам в зависимости от числа зубьев колеса и коэффициента смещения исходного контура.

19.4. Расчёт зубчатых колёс на контактную прочность.

Расчёт ведётся для закрытых зубчатых передач, то есть передач, помещённых в герметичный корпус со смазывающей жидкостью. Исходной является формула Герца для расчёта контактных напряжений при контакте деталей по цилиндрическим поверхностям:

,

где qn - давление, нормальное к поверхности зуба; - приведённый модуль упругости; - приведённый радиус кривизны; - коэффициент Пуассона.

Из накопленного опыта эксплуатации зубчатых передач следует, что наибольший износ поверхности зубьев происходит в зоне полюса зацепления. Рассмотрим расчётную схему, соответствующую этому случаю (рис. 22.3):

 

 

 

Обозначим M2 момент сопротивления нагрузки. Вывод формулы расчёта σн произведём для случая, когда aw=a, aw = a, rw1 = r1 и rw2 = r2. Контакт зубьев в полюсе зацепления можно рассматривать как контакт цилиндрических поверхностей, имеющих радиусы эвольвент в точке P r1 и r2.

Подсчитаем rпр, выразив предварительно r1 и r2 через r1, r2 и a:

r1= r1 . sina ;

r2= r2 . sina ;

.

Учитывая, что задано передаточное отношение, введём его в полученную формулу.

i12 = w1/w2 = r1/r2.

 

 

Заменим r1 и r2 на a и i12. Решая их относительно r1 и r2, получаем:

; .

Учитывая полученные значения, можно выразить rпр:

.

Подставляем полученное значение в формулу Герца:

.

Заменяем нормальное давление qn окружным q:

.

Заменим величину q через момент M2:

,

тогда:

 

Введём в формулу коэффициенты:

ZН - коэффициент, учитывающий форму соприкасающихся поверхностей:

 

(при a=200 ZН = 1,77);

Zм - коэффициент, учитывающий механические свойства материалов колёс:

,

Zξ - коэффициент, учитывающий влияние торцевого перекрытия зубьев (для приборов средней точности расчёта принимают Zξ ≈ 0,9).

Получим: .

Будем исходить из условия, что sН ≤ [sН], где [sН] известно. Тогда получим:

.

Задаемся отношением ширины венца колеса к межосевому расстоянию, то есть ya=b/a, тогда получаем формулу, которую используют для проверочного расчёта:

.

Отсюда получаем формулу для определения межосевого расстояния, которая применяется при проектировочном расчёте: