Алгоритм расчета геометрических характеристик плоских сечений

Стандартные прокатные профили.

Рис.4.15

Рис.4.14

Понятие о радиусе и эллипсе инерции сечения

Радиусом инерции плоской фигуры относительно какой-либо оси, называется длина перпендикуляра, отсчитываемая от этой оси и вычисляемая по формуле:

(4.33)

(4.34)

 

(4.35)

(4.36)

 

Эллипс инерции - эллипс, построенный на полуосях, равных радиусам инерции (рис.4.14). Он характеризует скорость изменения радиусов и моментов инерций фигуры при повороте осей координат.

Пример 6. Определить радиусы инерции для сечения неравнобедренного уголка 160´100´10 (рис. 4.15). Построить эллипс инерции этого сечения.

Решение: Осевые радиусы инерций сечения определяются по формулам (4.33)-(4.36):

 

F_{уголка №16/10} =25,3 см²

 

 

 

Построенный эллипс инерции показан на рис. 4.14.

 

Нашей промышленностью выпускаются стандартные прокатные профили (двутавр, швеллер, уголок равнобокий, уголок неравнобокий), которые могут быть использованы как готовые элементы конструкций (балки, стойки, элементы ферм и т.д.). Размеры прокатных профилей стандартизированы и сведены в таблицы сортаментов прокатной стали, которые приводятся в приложениях почти всех учебников и сборников задач по сопротивлению материалов. В этих таблицах приводятся все размеры сечений и основные геометрические характеристики прокатных профилей в соответствии с их номером.

 

При анализе геометрических характеристик плоских сечений любой сложности важнейшей задачей является определение положения главных центральных осей, величин главных центральных моментов инерции и моментов сопротивления сечений.

Можно рекомендовать следующий порядок определения положения главных центральных осей, величин главных центральных моментов инерции и моментов сопротивления сложного профиля, состоящего из простых частей, характеристики которых либо известны, либо легко определяются.

1. Проводим произвольную прямоугольную систему осей z, y. Разбиваем фигуру на простые части, геометрические характеристики которых представлены в сортаменте, либо могут быть вычислены по элементарным формулам, и определяем по (4.4) положение её центра тяжести z_c, y_c.

Для самостоятельной проверки правильности, определения координат центра тяжести сложного сечения делается проверка, согласно которой вычисляются статические моменты всего сечения относительно осей z_c и y_c. Должны иметь место равенства и в пределах точности производимых вычислений.

Проводим систему центральных осей z_c, y_c, таким образом, чтобы наиболее просто можно было вычислить моменты инерции частей фигуры относительно этих осей. Для этого определяем моменты инерции частей фигуры относительно собственных центральных осей, проведенных параллельно осям z_c, y_c, используя при этом формулы перехода к параллельным осям (4.18)-(4.20). Суммируя, получаем значения , , .

2. Определяем по (4.24) положение главных центральных осей. Положительный угол a₀ откладывается против хода часовой стрелки, отрицательный - по ходу часовой стрелки.

3. По формулам (4.25) определяем значения главных центральных моментов инерции и , причем ось, относительно которой имеет место максимальный, главный центральный момент инерции, обозначаем буквой u (I_max=I_u), а ей перпендикулярную ось, относительно которой имеет место минимальный, главный центральный момент инерции, обозначаем буквой v (I_min=I_v).

Для самостоятельного контроля правильности решения задачи на данном этапе делаются следующие проверки:

а) по формуле (4.25) определяется центробежный момент инерции относительно главных центральных осей , который согласно определению должен быть равен нулю, I_uv=0.

б) по формулам (4.26), (4.27) также могут быть определены главные центральные моменты инерции сложного сечения I_u, I_v.

в) согласно (4.28) должно удовлетворяться равенство:

 

4. Для определения моментов сопротивления сложного сечения по формулам (4.29), (4.30) необходимо определить точки, наиболее удаленные от главных центральных осей, координаты которых относительно главных центральных осей u_max и v_max могут быть определены по формулам перехода к повернутым осям (4.31), (4.32).

Для проверки, координаты точек, наиболее удаленных от главных центральных осей, могут быть определены и графически непосредственно с чертежа, выполненного в масштабе.

5. Для определения радиусов инерции производятся вычисления по формулам (4.35)-(4.36). При построении эллипса инерции от центра тяжести сечения по осям u и v откладываем в масштабе чертежа величины i_v и i_u каждый соответственно перпендикулярно своей оси. На этих отрезках, как на полуосях, строится эллипс инерции.

Для проверки (или более точного построения эллипса инерции) могут быть отложены величины и .

Пример 7. Определить положение главных центральных осей и вычислить главные центральные моменты инерции для сечения (рис.4.16), состоящего из неравнобокого уголка №14/9 (ГОСТ 8510-57) и швеллера №24 (ГОСТ 8240-56).

Решение: Разбиваем фигуру на части, геометрические характеристики которых можно взять из таблиц сортамента, на швеллер и уголок; через их центр тяжести c₁ и c₂ проводим центральные оси z₁, y₁ и z₂, y₂, параллельные их сторонам. Поскольку z₁ - ось симметрии швеллера, то она и ось y₁ являются его главными центральными осями. Главная центральная ось уголка v-v образует с его центральной осью z₂ угол a.

Из таблиц сортамента имеем:

Для швеллера №24 F₁=30,6 см²

 

 

координаты центра тяжести

h=24 см b=9 см

Для уголка №14/9 F₂=22,2 см²