Зависимость между моментами инерции относительно параллельных осей.

Рис.4.10

Моменты инерции сечений сложной формы.

Рис.4.8

Кольцо

Рис.4.7

Круг

Рис.4.6

Треугольник

Определим момент инерции треугольника относительно оси х₁, проходящей через основание.

.

Элементарная площадка .

Из подобия треугольников получаем:

,

где b – основание треугольника, h – его высота.

Таким образом

 

Расстояние от основания треугольника до центра тяжести равно

.

По формуле переноса находим момент инерции относительно центральной оси х, параллельно основанию

.

Определим сначала полярный момент инерции относительно центра круга (рис.4.7). За dF примем площадь бесконечно тонкого кольца толщиной dr , расположенного на расстоянии r от центра круга .

Тогда

 

 

(4.13)

Теперь определим осевые моменты инерции. Очевидно, что в силу симметрии ; но . Откуда

. (4.14)

Определим моменты инерции кольца, у которого R - наружный радиус, r - внутренний радиус (рис.4.8). Интегрируя полученное ранее выражение для полярного момента инерции в пределах от r до R, получим

 

Это выражение может быть представлено в виде

 

, (4.15)

где .

Соответственно

. (4.16)

Момент инерции сечения сложной формы относительно некоторой оси равен сумме моментов инерций его составных частей относительно той же оси:

, (4.17)

что непосредственно следует из свойств определенного интеграла. Таким образом, для вычисления момента инерции сложной фигуры надо разбить ее на ряд простых фигур, вычислить моменты инерции этих фигур, а затем просуммировать их.

Пример 3.Определить момент инерции сечения, показанного на рис. 4.9, относительно оси симметрии, a=10 см.

Решение: Разбиваем заданное сечение на простейшие элементы: I - Равнобедренный треугольник, II - прямоугольник, III - круг.

Момент инерции сложной фигуры относительно оси z согласно формуле (4.17):

.

Определяем моменты инерции слагаемых простейших элементов: для

Рис.4.9 равнобедренного треугольника: ; для прямоугольника согласно формуле (4.11): ;

для круга согласно формуле (4.14): .

Окончательно получим:

I_z=4,0a⁴+10,67a⁴-0,0491a⁴=14,6a⁴=14,6×10⁴=1,46×10⁵ см⁴.

 

Пример 4. Определить момент инерции симметричного сечения, показанного на рис. 4.10, относительно вертикальной оси симметрии y. Двутавр №10 (ГОСТ 8239-56). Швеллер №5 (ГОСТ 8240-56).

Решение: Разбиваем исходное сечение на простейшие элементы, моменты инерций которых приводятся в справочниках: I - двутавр, II и III - швеллеры.

По сортаменту на стандартные прокатные профили имеем:

1) Для двутавра №10 (ГОСТ 8239-56): H=10 см, B=7 см, F=14,2 см², I_x=244 см⁴, I_y=35,3 см⁴.

2) Для швеллера №5 (ГОСТ 8240-56): h=5 см, b=3,7 см, F=6,90 см², I_x=26,1 см⁴, I_y=8,41 см⁴, x₀=1,35 см.

Момент инерции сечения относительно оси y согласно (4.17)

 

т.к. оба швеллера расположены идентично относительно оси y.

Для двутавра .

Для швеллера сортам.=26,1 см⁴.

Окончательно имеем: .

 

 

 

Пусть х_с, у_с - центральные оси сечений, - моменты инерции сечения относительно этих осей. Определим моменты инерции сечения относительно новых осей х₁, у₁, параллельных центральным осям и смещенных относительно них на расстояния а и d. Пусть dF - элементарная площадка в окрестности точки М с координатами х и у в центральной системе координат. Из рис.4.11 видно, что координаты точки Ь в новой системе координат будут равны

.