Главные оси инерции и главные моменты инерции.
Рис.4.12
Изменение моментов инерции сечения при повороте осей координат.
Рис.4.11
Определим момент инерции сечения относительно оси х1:
Очевидно, что первый интеграл дает , второй - , т.к. исходная система координат - центральная, а третий - площадь сечения F. Таким образом,
. (4.18)
Аналогично,
, (4.19)
. (4.20)
Найдем зависимость между моментами инерции относительно осей х, у и моментами инерции относительно осей х1, у1, повернутых на угол a . Пусть Jx > Jy и положительный угол a отсчитывается от оси х против часовой стрелки. Пусть координаты точки М до поворота – x, y , после поворота – x1, y1 (рис. 4.12).
Из рисунка следует:
Теперь определим моменты инерции относительно осей х1 и у1:
или
. (4.21)
Аналогично:
. (4.22)
(4.23)
Сложив почленно уравнения (4.21), (4.22), получим:
т.е. сумма моментов инерции относительно любых взаимно перпендикулярных осей остается постоянной и не изменяется при повороте системы координат.
Пример 5. Найти моменты инерции прямоугольника (Рис.4.13) относительно осей и и центробежный момент его относительно тех же осей.
Рис.4.13. Пример расчета моментов инерции.
Центральные оси у и z как оси симметрии будут главными осями; моменты инерции сечения относительно этих осей равны:
Центральные моменты относительно повернутых осей и равны:
Центробежный момент инерции относительно осей и равен:
Координаты центра тяжести прямоугольника относительно осей и равны:
Моменты инерции относительно осей и равны:
Центробежный момент инерции равен:
С изменением угла поворота осей a каждая из величин и меняется, а сумма их остается неизменной. Следовательно, существует такое значение , при котором моменты инерции достигают экстремальных значений, т.е. один из моментов инерции достигает своего максимального значения, в то время другой момент инерции принимает минимальное значение. Для нахождения значения возьмем первую производную от (или ) и приравняем ее нулю:
,
или
,
откуда
. (4.24)
Покажем, что относительно полученных осей центробежный момент инерции равен нулю. Для этого приравняем правую часть уравнения (4.23) нулю:
,
откуда
,
т.е. получили ту же формулу для .
Оси, относительно которых центробежный момент инерции равен нулю, а осевые моменты инерции принимают экстремальные значения называются главными осями. Если эти оси являются также и центральными, то они называются главными центральными осями. Осевые моменты инерции относительно главных осей называются главными моментами инерции.
Обозначим главные оси через х0 и у0. Тогда
, , (4.25)
.
Если сечение имеет ось симметрии, то эта ось всегда является одной из главных центральных осей инерции сечения.
Главные моменты инерции Iu и Iv могут быть также определены по формулам:
(4.26)
(4.27)
При повороте осей координат удовлетворяется следующее равенство:
(4.28)
Моменты сопротивления относительно главных центральных осей u и v могут быть подсчитаны по формулам:
(4.29)
(4.30)
где umax, vmax - координаты точек сечения, наиболее удаленных от главных центральных осей u и v. Эти координаты можно вычислить, используя связь между координатами в повернутых на угол a0 осях по формулам:
(4.31)
(4.32)