Качественный порядок

Дополним отношение строгого упорядочения P_уп свойством транзитивности. Назовем полученное отношение качественным порядком P_кач. Рассмотрим два примера такого отношения.

1) Пусть х, у – вещественные числа. Введем качественный порядок следующим соотношением:

хР_качу Û x > у + 1.

Очевидно, что в данном случае отношение Р_кач асимметрично и транзитивно, но оно не является негатранзитивным. Покажем это.

Дополнение к введенному отношению определим как

х`Р_кач у <=> х £ у + 1

Положим у = 0; х = 0.9; z = – 0.9. Тогда, очевидно, выполняются отношения (х, y) Î`Р<sub>кач</sub> ; (y, z) Î`Р_кач ; (х, z) Ï Р_кач. Т.е. условие негатранзитивности не выполняется.

Согласно рассмотренному примеру, а также доказанному ранее свойству транзитивности слабого порядка, можно сделать вывод, что асимметричное негатранзитивное отношение является транзитивным, но обратное не всегда верно.

2) Введем на множестве точек n-мерного евклидова пространства следующее отношение Par, называемое отношением Парето:

х, уÎРаr Û " i : х_i ³ y_i и $ j : х_j > у_j.

Отношение Парето называется также безусловным критерием предпочтения (БКП). Оно означает, что точка x по всем координатам имеет не меньшие значения, чем точка y и хотя бы по одной координате имеется строгое превосходство. В двумерном случае данное отношение можно изобразить графически. Возможны следующие ситуации:

 

а) x₁ < y₁ б) x₁ > y₁ в) x₁ < y₁

x₂ > y₂ x₂ = y₂ x₂ < y₂

нет отношения Раr; есть отношение Раr, есть отношение Раr,

x лучше y; y лучше x.

Задание. Доказать, что отношение Раr является качественным порядком.

Также как и для P_уп и P_сл, на основе P_кач можно построить

производные от него отношения:

I_кач - отношение качественного безразличия;

хI_качу Û ( x`Р<sub>кач</sub> у) и (у`Р_кач х );

R_кач – нестрогий качественный порядок R_кач = Р^d _кач.

Качественный порядок также называют в литературе частичным порядком. Понятия же нестрого качественного и нестрого частичного порядков различны.

Помимо введенных выше специальных бинарных отношений дадим краткие определения некоторых других, часто встречающихся отношений.

Отношение R_част называется нестрогим частичным порядком, если оно рефлексивно, транзитивно и антисимметрично. Нестрогий частичный порядок можно определить по формуле R_част = P_кач È D .

Рефлексивное и транзитивное бинарное отношение называется предпорядком. Симметричный предпорядок является отношением эквивалентности, антисимметричный предпорядок – нестрогим частичным порядком.

В заключение изложения теории специальных бинарных отношений приведем сводную таблицу их свойств.

	Рефл.	Антирефл.	Симм.	Асимм.	Антисимм.	Транз.	Негатранз.	Полн.	Ацикл.
Pуп		+		Å
Iуп	Å		Å
Rуп	+							Å
Pсл		+		Å		+	Å		+
Iсл	Å		Å			Å
Rсл	+					Å	+	Å
Pкач		+		Å		Å			+
Rкач	+						Å	Å
Rчаст	Å				Å	Å

В предлагаемой таблице использованы следующие обозначения:

Å – данным свойством отношение обладает по определению;

+ – это свойство вытекает из определения.