Напряжения при кручении бруса круглого поперечного сечения.

КРУЧЕНИЕ.

Основные понятия.

Кручение - это такой вид деформации, при котором в его поперечных сечениях возникает единственный внутренний силовой фактор - момент крутящий, обозначаемый М_z или М_к.

Деформация возникает при нагружении бруса (вала) парами сил. Моменты этих пар сил называют скручивающими моментами и обозначают М (T).

Момент пары сил появляется в местах посадки зубчатых колес, полумуфт, цепных звездочек, ременных шкивов.

На рис.1,а изображен брус, работающий на кручение под действием приложенных к нему скручивающих моментов. Это изображение моментов применимо взамен показанных на рис. 1,б, где дано нагружение бруса парами сил.

 

Рис.1.

Во всех случаях алгебраическая сумма скручивающих моментов равна нулю, т.е. брус находится в равновесии.

Рассмотрим брус, нагруженный внешними скручивающими моментами.

 

Применяя метод сечений и рассматривая равновесие оставленной части, заменяем действие отброшенной части внутренним силовым фактором - моментом крутящим.

Крутящий момент, возникающий в произвольном поперечном сечении, численно равен алгебраической сумме внешних скручивающих моментов по одну сторону от сечения.

М_к = SТ_лев = SТ_прав

М_к = Т₁+Т₂ = Т₃ – Т₄

 

 

Правило знаков для момента крутящего:

Внешний скручивающий момент берется в уравнение со знаком плюс, если стремится повернуть отсеченную часть по часовой стрелке. (Правило не имеет физического смысла).

Существует плоское изображение внешнего скручивающего момента.

 

Вращающий момент, действующий на зубчатое колесо, шкив и т.д., может быть выражен:

М = Р/ω,

где Р - мощность, Вт;

ω- угловая скорость, рад/с.

Теория кручения бруса круглого сплошного или кольцевого поперечного сечения основана на следующих допущениях.

1. Поперечные сечения бруса, плоские и перпендикулярные оси стержня до деформации, остаются плоскими и перпендикулярными оси и после деформации (гипотеза Бернулли).

2. Поперечное сечение остается круглым, радиусы не меняют своей длины и не искривляются.

Так как в поперечных сечениях при кручении не возникают продольные силы, то расстояния между сечениями не изменяются.

Представление о характере деформации можно получить, подвергая скручиванию резиновую модель бруса с нанесенной на его поверхность сеткой продольных и поперечных линий. Поперечные линии не искривляются, расстояние между ними не изменяется (подтверждается гипотеза плоских сечений). Продольные линии обращаются в винтовые, но при малом закручивании перекос всех элементов одинаков, а значит, и напряженное состояние одинаково.

 

Рис.3

Рассмотрим брус, жестко защемленный одним концом и нагруженный на свободном конце скручивающим моментом.

Образующая АВ под действием момента займет положение АВ'.

 

Найдем длину дуги ВВ' = r dj = g dz

Отсюда r dj = g dz,

где -относительный угол закручивания.

Запишем формулу касательных напряжений, аналогично закону Гука при растяжении- сжатии:

(напряжение = деформация • модуль)

G - модуль упругости II рода, модуль сдвига

для сталей G=0.8*10⁵MПa

Формула, характеризующая связь между модулем I и II рода:

Элементарная касательная сила, приходящаяся на площадку dF, равна tdF, а ее момент dM_z = trdF

 

Отсюда

При р=0 t=0, при r=r_max

Эпюры касательных напряжений для круглого сплошного и кольцевого поперечных сечений показаны на рис.5.

 

Рис.5

Наибольшего значения касательные напряжения достигают в точках контура поперечного сечения.

Условие прочности при кручении

Допустимое напряжение для стали принимают [т_к] =(0.55...0.60) [d]

Указанные значения допускаемых напряжений можно принимать лишь в случае чистого кручения. Однако кроме кручения, валы могут испытывать изгиб. Тогда для обеспечения прочности вала допускаемое напряжение на кручение принимают пониженным: для конструкционной углеродистой стали обычно [т_к] = 20...35МПа