Плоское напряженное состояние

Линейное напряженное состояние.

Главные площадки и главные напряжения. Виды напряженного состояния тела.

Рассмотрим две взаимно-перпендикулярные площадки с касательными напряжениями и . Согласно закону парности касательных напряжений знаки и противоположны. Поэтому, если площадку с напряжением поворачивать до совпадения с площадкой с напряжением , то обязательно найдется такое положение площадки, когда .

Площадки, по которым касательные напряжения равны нулю, называются главными, а действующие по этим площадкам нормальные напряжения - главными напряжениями.

Главные напряжения обозначаются , причем . Элемент, выделенный главными площадками, изображен на рис.3.5. В зависимости от количества действующих главных напряжений различают три вида напряженных состояний: линейное, плоское и объемное.

Линейным или одноосным называется напряженное состояние, при котором два из трех главных напряжений равны нулю (рис.3.6).

Примером линейного напряженного состояния может служить осевое растяжение-сжатие.

Рассмотрим задачу определения напряжений в площадке общего положения. Угол наклона этой площадки α будем отмерять от направления до нормали к площадке . Примем, что положительный угол α откладывается против хода часовой стрелки, а отрицательный по ходу часовой стрелки. Направим ось х вдоль нормали , ось у – перпендикулярно ей

Для определения напряжений s _x и t _ху рассмотрим рис.3.7.

Получим:

 

где - площадь наклонной площадки,

- площадь поперечного сечения,

- полное напряжение, действующее по наклонной площадке.

Учитывая, что , получим:

.

Раскладывая p_a на направление оси х и оси у, получим

,

 

Рассмотрим площадку b перпендикулярную площадке a, угол

. Направим ось y по нормали к этой площадке. Нормальные напряжения, действующие по этой площадке равны

.

Складывая s_х и s_у , получим

s_x + s_y = s₁ = const,

т.е.сумма нормальных напряжений по двум взаимно перпендикулярным площадкам величина постоянная и равна главному напряжению.

Касательные напряжения, действующие по наклонной площадке b

,

т.е. справедлив закон парности касательных напряжений.

Нормальные напряжения s_x по наклонной площадке a достигают максимального значения при a = 0, т.е. в поперечном сечении.

Касательные напряжения τ_xy по наклонной площадке a достигают максимального значения при a = ± 45⁰.

Плоским или двухосным называется напряженное состояние, при котором одно из трех главных напряжений равно нулю.

На рис.3.8 показано плоское напряженное состояние.

Прямая задача.

Определим напряжения s_x и t_xy, действующие по любой наклонной площадке a по известным главным напряжениям и , т.е. решим так называемую прямую задачу теории напряженного состояния.

Для решения этой задачи воспользуемся принципом независимости действия сил.

Представим плоское напряженное состояние в виде суммы двух независимых линейных напряженных состояний: первое – при действии только напряжений s₁, второе – при действии только напряжений s₂ (рис.3.9)

От каждого из напряжений s₁, s₂ напряжения s_x1, s_x2 и t_xy1,t_xy2 в произвольной площадке равны

 

 

 

Таким образом, суммируя напряжения, возникшие при каждом линейном напряженном состоянии, получим

(3.16)

 

Если рассмотреть площадку с углом наклона , перпендикулярную к площадке a, то можно доказать как и для линейного напряженного состояния, что

 

(3.17)

 

Суммируя нормальные напряжения, действующие по взаимно перпендикулярным произвольным площадкам, получим

.

Сравнивая величины касательных напряжений, получим

.

Наибольшие касательные напряжения действуют по площадкам, наклоненным к главным под углом a = 45^о

.