Зависимость между перепадом давления и расходом

Распределение касательных напряжений.

Ламинарное течение в каналах круглого сечения.

( Течение Пуазейля-Гагена ).

 

Здесь p₁ и р₂ - давления в сечениях 1 и 2.

Как уже указывалось, установившееся течение вязкой несжимаемой жидкости описывается уравнением Эйлера:

 

где -оператор Лапласа.

При рассмотрении ламинарного течения используются следующие допущения:

1. Течение - осесимметричное

Таким образом, можно рассматривать уравнение Навье-Стокса только в проекциях на ось Х:

2. Течение - установившееся

3. Силы тяжести - отсутствуют

Из 2-го и 3-го допущений следует:

 

4. Труба постоянного сечения

С учетом 4-го допущения в окончательном виде уравнение Навье-Стокса для установившегося осесимметричного течения можно записать:

 

Для осесимметричного течения , что следует из рис.

и следовательно - не зависит от х.

Таким образом, можно записать:

Здесь знак «-» потому, что давление уменьшается.

Таким образом, можно записать:

Или после преобразования:

 

Теперь дважды интегрируя данное уравнение можем получить зависимость для распределения скорости по живому сечению потока.

 

Окончательно получаем:

 

Из полученного уравнения следует, что закон распределения скорости по живому сечению имеет параболический характер.

Из полученного уравнения следует, что максиальное значение скорость имеет в центре живого сечения потока:

При r=0:

 

Воспользуемся законом Ньютона для касательных напряжений, тогда:

 

Отсюда следует, что касательное напряжение - имеет линейный закон распределения.

 

 

Графически распределение касательных напряжений по сечению потока показано на рис.

 

Рис. 3.6

Из рис. 3.6 следует, что площадь элементарного кольцевого сечения определяется по следующей зависимости:

 

где:

Расход жидкости через живое сечение потока можно найти интегрируя скорость жидкости по данному сечению:

 

 

Учитывая, что R=d/2получаем так называемую формулу Пуазейля-Гагена для трубы круглого сечения расход определиться как:

 

Связь между расходом Q и перепадом давления при ламинарном течении имеет линейный характер.

Тогда средняя скорость по сечению:

 

Как уже указывалось максимальное значение скорости рассчитывается по зависимости:

 

при r=0:

 

Сравнивая полученную зависимость с зависимостью для средней скорости, получаем:

 

Коэффициент Кориолиса в общем случае равен:

Следовательно, производя подстановку ранее определенных значений, получаем, что коэффициент Кориолиса при расчете течения через кольцевой зазор α=2.

Полученные данные хорошо согласуются с опытными данными за исключением случаев:

- начального участка трубы, где происходит формирование профиля эпюры скоростей,

- течения с теплообменом ,

- течения в капиллярах и зазорах с облитерацией,

- течения при больших перепадах давления.