Законы Архимеда и Паскаля

Основные уравнения гидростатики.

Частные случаи уравнения Навье-Стокса.

Основные уравнения гидромеханики.

Глава 2. Основы гидромеханики.

Курс механики жидкости состоит из:

- гидростатики, в которой изучается равновесие жидкостей и тел в них погруженных;

- кинематики жидкости, где исследуется движение жидкостей вне связи с определяющими её движение взаимодействиями, и

- динамики жидкости, изучающей движение жидкостей при их взаимодействии с твердыми телами и другими жидкостями.

В основе современной механики сжимаемой вязкой жидкости лежит система уравнений Навье-Стокса, которая в векторно-операторной форме может быть записана в следующем виде:

 

Представленное уравнение описывает неустановившееся пространственное движение вязкой сжимаемой жидкости.

Здесь:

- вектор полного ускорения жидкой частицы,

- вектор массовой силы, отнесенной к единице массы,

- плотность жидкости,

- давление жидкости,

- кинематический коэффициент вязкости,

- вектор скорости жидкой частицы,

- оператор Лапласа.

Данное уравнение выражает закон сохранения энергии.

При условии сплошности движущейся жидкости закон сохранения массы в гидромеханике описывается, так называемым, уравнением неразрывности, которое записывается в следующем виде:

 

Иначе говоря, дивергенция (расхождение) вектора плотности тока представляет собой разность между массой жидкости, вытекающей из элементарного контрольного объема с замкнутой контрольной поверхностью, и массой жидкости, втекающей в него, отнесенную к единице времени и объема, то есть равна локальной производной плотности.

 

Для несжимаемой жидкости:

 

 

Для идеальной жидкости:

 

Следовательно:

 

Данное уравнение называется уравнением Эйлера или уравнением движения идеальной сжимаемой жидкости.

Дифференциальное уравнение равновесия жидкости легко получается из уравнения Эйлера при условии, что жидкость покоится.

То есть:

 

Следовательно:

 

Или в проекциях на оси декартовых координат:

 

Для определения гидростатического давления в произвольной точке жидкости при её абсолютном покое относительно сосуда служит основное уравнение гидростатики, которое легко получается из уравнения равновесия жидкости.

Если давление на поверхности жидкости равноР₀, то данное уравнение можно записать в следующем виде:

 

Здесь h – напор, высота столба жидкости.

 

 

Практическое значение имеют два закона гидростатики: Архимеда и Па­скаля.

Закон Архимеда о подъёмной (архимедовой) силе F_n , действую­щей на погружённое в жидкость тело, имеет вид

 

,

где V_m — объём жидкости, вытесненной телом.

В практике этот закон применяется, например, при расчёте подземных резервуаров на всплытие в обводнённых грунтах. На рис. 5 показан резервуар, часть которого расположена ниже уровня грун­то­вых вод (УГВ). Таким образом, он вытесняет объём воды, равный объёму его погружённой части ниже УГВ, что вызывает появление ар­химедовой силы F_п. Если F_п превысит собственный вес резервуара G_р, то конструк­ция может всплыть.

Закон Паскаля звучит так: внешнее давление, приложенное к жид­кости, находящейся в замкнутом резервуаре, передаётся внутри жидкости во все её точки без изменения. На этом законе основано действие многих гид­равличе­ских устройств: гидродомкратов, гидропрессов, гидропривода ма­шин, тормозных систем автомобилей.