Пример расчета параметров парной линейной регрессии
В таблице 1.3 приведены данные о доле в расходах, направленной на потребление продуктов питания и заработной плате по нескольким регионам Уральского Федерального округа. Так как заработная плата характеризует одну из статей доходов домохозяйств, причем основную, а доля расходов на потребление продуктов питания – основную статью расходов, эти два показателя должны быть связаны между собой.
Х – заработная плата, тыс. руб.;
У – доля расходов на потребление продуктов питания, так как доля расходов зависит от заработной платы, %.
Задание: 1) параметризация: подобрать уравнение связи;
2) идентификация: идентифицировать параметры уравнения, измерить тесноту связи между фактором и результатом;
3) верификация: оценить надежность модели, сделать выводы;
4) прогнозирование:
- оценить уровень потребления при заданной заработной плате 58,0 млн.руб.
- оценить уровень потребления при заданной заработной плате равной ( 
+5%).
Порядок решения:
1) Параметризация: выберем для подбора параметров уравнение парной линейной регрессии, как получившее наибольшее распространение, наиболее легко идентифицируемое и интерпретируемое. Общий вид уравнения парной линейной регрессии в соответствии с формулой (4) следующий:
у = а + bх + e
2) На этапе идентификации необходимо вместо буквенных обозначений параметров а и b найти числа, соответствующие данной парной регрессии.
Найдем параметры а и b по формулам (7) и (8). Все предварительные расчеты приведены в таблице 3.
Таблица 1.3 – исходные данные для расчетов
| № п/п | Х, млн. руб | Y, % | Y·Х | Y2 | Х2 | ŶХ | Y-ŶХ | (Y-Ŷ)2 | 10 = |8/7| | (Х- )2
|
| 68,8 | 45,1 | 3102,9 | 2034,0 | 4733,4 | 51,0 | -5,9 | 34,4 | 0,115 | 119,1 | |
| 61,2 | 59,0 | 3610,8 | 3481,0 | 3745,4 | 53,7 | 5,3 | 28,0 | 0,099 | 11,0 | |
| 59,9 | 57,2 | 3426,3 | 3271,8 | 3588,0 | 54,2 | 3,0 | 9,2 | 0,056 | 4,1 | |
| 56,7 | 61,8 | 3504,1 | 3819,2 | 3214,9 | 55,3 | 6,5 | 41,9 | 0,117 | 1,4 | |
| 55,0 | 58,8 | 3234,0 | 3457,4 | 3025,0 | 55,9 | 2,9 | 8,2 | 0,051 | 8,3 | |
| 54,3 | 47,2 | 2563,0 | 2227,8 | 2948,5 | 56,2 | -9,0 | 80,9 | 0,160 | 12,9 | |
| 49,3 | 55,2 | 2721,4 | 3047,0 | 2430,5 | 58,0 | -2,8 | 7,8 | 0,048 | 73,7 | |
| Итого | 405,2 | 384,3 | 22162,3 | 21338,4 | 23685,8 | 210,3 | 0,646 | 230,47 | ||
| Ср. знач. | 57,9 | 54,9 | 3166,0 | 3048,3 | 3383,7 | 30,05 | 0,092 | 32,924 |
Также для определения параметров уравнения можно воспользоваться встроенной функцией категории «Статистические» → «ЛИНЕЙН». Подробнее об использовании этой функции см. Приложение 3.
Таким образом, по формуле (3) мы получили следующее уравнение парной линейной регрессии:
Вывод: при увеличении доходов на 1 млн. руб. доля расходов на потребление продуктов питания снижается на 0,36 %.
Оценим тесноту связи между фактором и результатом с помощью линейного коэффициент корреляции 
(14), (9), (17):
Вывод: связь обратная, слабая. При увеличении доходов потребление снижается с невысокой вероятностью.
3) На этапе верификации оценим качество модели. Для этого рассчитаем коэффициент детерминации, F-критерий, t-статистику.
Рассчитаем коэффициент детерминации по формуле (15), (16) и (17) или воспользуемся встроенной функцией категории «Статистические» → «ЛИНЕЙН»:
Вывод: уравнение объясняет всего 12,5% вариации результата
Рассчитаем F-критерий по формулам (19) и (21) или воспользуемся встроенной функцией категории «Статистические» → «ЛИНЕЙН»:
Определим Fтабл по таблице Приложения 1. Степени свободы числителя и знаменателя определим по таблице 2 (стр10). Число наблюдений – 7, параметр при х один – это b. Таким образом, k1 = 1, k2 = 5.
Fтабл = 6,61
Вывод: Fфакт < Fтабл следовательно гипотезу о статистической незначимости уравнения связи нужно принять. Уравнение связи статистически незначимо, то есть значения параметров могли быть получены случайным образом.
Рассчитаем t-статистику для каждого параметра по формулам (22)-(28) или воспользуемся встроенной функцией категории «Статистические» → «ЛИНЕЙН»:
Определим tтабл для 5 степеней свободы и вероятности 0,95 по таблице Приложения 3. При поиске табличного значения учтем, что t-критерий симметричен относительно оси х, поэтому сравниваем значения фактические и табличные по модулю.
tтабл = 2,4669
Вывод: 
меньше tтабл следовательно с вероятностью 95% гипотеза о статистической незначимости параметров r и b принимается.
В свою очередь, 
больше tтабл следовательно с вероятностью 95% гипотеза о статистической незначимости параметра а отклоняется.
4) прогнозирование: оценим уровень потребления при заданной заработной плате 58,0 млн. руб. на доверительном интервале с заданной вероятностью по формулам (30) и (31).
Для нахождения 
подставим в уравнение связи заданное значение х:
%.
Вывод: при уровне заработной платы на уровне 58 млн. руб. доля расходов на потребление составит 54,86 %.
Для повышения надежности прогноза определим доверительный интервал прогноза по формулам (30) и (31).
Стандартную ошибку прогноза 
определим по формуле (32) или воспользуемся встроенной функцией категории «Статистические» → «ЛИНЕЙН»:
Тогда среднюю ошибку прогноза определим по формуле (30). Для этого самостоятельно зададим требуемый уровень надежности (90%, 95% или 99%) и по таблице Приложения 2 для 5 = 7 - 2 степеней свободы определим tтабл. Пусть уровень надежности равен 90%, тогда tтабл = 2,0150.
%.
Тогда границы доверительного интервала составят по формуле (30):
(54,86-13,07) % < < (54,86+13,07) %
или 41,79 % < < 67,93%
Вывод: с вероятностью 90% при заработной плате на уровне 58 млн. руб. доля расходов домашних хозяйств на потребление составит [41,79; 67,93]%.
Далее оценим уровень потребления при заданной заработной плате равной ( +5%).
Для этого сначала рассчитаем уровень заработной платы, для которого нужно построить прогноз. Средняя заработная плата по данным таблицы 3 составляет 57,9 тыс. руб. Найдем уровень заработной платы (Xi) для построения прогноза как:
57,9 х (1 + 0,05) = 60,8 тыс. руб.
5) Далее проведем все действия аналогично предыдущему прогнозу. Сначала оценим уровень потребления при заданной заработной плате 60,8 тыс. руб. на интервале с заданной вероятностью по формулам (30) и (31).
Для нахождения подставим в уравнение связи заданное значение Xi:
%
Вывод: при уровне заработной платы на уровне Xi = ( +5%) млн. руб. доля расходов на потребление составит 53,86%.
Для повышения надежности прогноза определим доверительный интервал прогноза.
Стандартная ошибку прогноза зависит от уравнения связи, поэтому для всех прогнозов по данному уравнению она постоянна. Поэтому, если не менять уровень надежности, то и средняя ошибка не изменится. Поэтому можно сразу построить прогноз:
(53,86-13,07)% < < (53,86+13,07) %
или 40,79 % < < 66,93 %.
Вывод: с вероятностью 90% при заработной плате на уровне ( +5%) млн. руб. доля расходов на потребление составит [40,79; 66,93]%.
С помощью мастера диаграмм нанесем на график исходные данные и линии, характеризующие взаимосвязь, см. пример на рисунке 2.
Рисунок 1.2 – Зависимость потребления от заработной платы
Для того, чтобы нанести на диаграмму уравнение связи и оценку аппроксимации (R2) воспользуемся функцией «Дополнительные параметры линии тренда» меню «Диаграмма», как на рисунке 3.
Рисунок 1.3 – Работа с диаграммой MS Excel