Рассмотрим второй интеграл. По определению

Теорема.

Теорема (предельный признак сравнения).

Если на промежутке функции и непрерывны и неотрицательны, а предел их , где - число, не равное нулю, то оба несобственных интеграла и либо сходятся, либо расходятся одновременно.

Мы не будем приводить доказательство этой теоремы, а укажем только направление рассуждений для организации доказательства.

Указание. Если выбрать настолько малым, чтобы окрестность не содержала , то для «больших» будет выполняться неравенство , или и остается воспользоваться первым признаком сравнения.

Если функция непрерывна на промежутке и интеграл сходится, то сходится и интеграл .

Доказательство: Рассмотрим две функции:

и .

(заметим, что функция совпадает с функцией в тех точках, где последняя положительна, и равна нулю в остальных точках, а функция совпадает с функцией в тех точках, где она отрицательна, и равна нулю в остальных точках).

Очевидно, что . Воспользовавшись теоремой сравнения (в нашем случае и ), можно утверждать, что интегралы и , а значит и сходятся. Но тогда будет сходиться и интеграл , поскольку для него справедливо равенство:

= +

Проверка последнего равенства осуществляется заменой интегралов по бесконечному промежутку соответствующими пределами.

Отметим, что если вместе с интегралом сходится и интеграл , то интеграл называется абсолютно сходящимся, в противном случае (если сходится только интеграл ) он называется условно сходящимся.

Аналогичные теоремы можно сформулировать как для несобственных интегралов первого рода по промежуткам и , так и для несобственных интегралов второго рода (сформулировать!).

Вопросы для самоконтроля.

1. Дайте определение несобственного интеграла по промежутку .

2. Дайте развернутое определение интеграла второго рода для случая, когда .

3. Сформулируйте признаки сходимости несобственных интегралов первого рода по промежуткам и .

4. Провести полное доказательство предельного признака сравнения.

5. Провести строгое доказательство равенства:

= + ,

приведенного в третьем признаке сходимости.

6. Сформулируйте признаки сходимости несобственных интегралов второго рода.

Задачи для самоконтроля.

Вычислить следующие несобственные интегралы или установить их расходимость:

а) (отв.: ); б) (отв.: -1); в) (отв.: расх.) ;

г) (отв.: ): д) (отв.: расх.) ; е) (отв.: ).

 

 

Решение типовых задач.

Задача. Выяснить, сходятся или расходятся данные интегралы:

Решение: 1. По определению

 

Следовательно, интеграл расходится.

 

 

Вычислим сначала , воспользовавшись формулой

интегрирования по частям:

 

Тогда

 

(при вычислении мы воспользовались правилом Лопиталя).

Итак, мы показали, что интеграл сходится.