Теорема. Пусть дана система дифференциальных уравнений

ГЛАВА V. Устойчивость

Дифференциальное уравнение или система, описывающие какой-либо физический процесс, обычно таковы, что участвующие в них функции, а также числовые коэффициенты и начальные условия задаются приближённо, с какой-либо степенью точности. Если решение уравнения меняется сильно при незначительном изменении этих данных, то такое решение неустойчиво и появляются серьёзные сомнения в том, что эти функции действительно описывают данный процесс. Естественным требованием поэтому является устойчивостьрешений. Из различных понятий устойчивости мы выберем наиболее употребительное – устойчивость по Ляпунову.

Пусть

(1)

– система дифференциальных уравнений, записанная в векторной форме (здесь неизвестная вектор-функция). Рассматриваются решения этой системы, удовлетворяющие начальному условию и определённые на полуоси Решение называется устойчивым по Ляпунову, если для любого найдется такое , что для всякого решения , начальные условия которого удовлетворяют неравенствам

для всех , то справедливы неравенства

.

Дадим геометрическую интерпретацию этому определению.

Рис.1.

На рис.1. приведен график i-ой компоненты невозмущенного решения . В окрестности этой компоненты построен «коридор» шириной . Тогда для любого фиксированного значения найдется такое , зависящее от , что как только начальные условия компоненты возмущенного решения окажутся внутри отрезка , график компоненты полностью займет место внутри коридора шириной .

Если же для заданного при любом сколь угодно малом неравенство не выполняется при всех хотя бы для одного значения , то решение называется неустойчивым.

Если решение не только устойчиво, но и удовлетворяет условию

. (2)

при условии , то решение называется асимптотически устойчивым.

Если частное решение системы

,

то есть, если все при всех значениях аргумента равны нулю, то такое решение называется точкой покоя.

Исследование устойчивости данного решения значительно упрощается, если вместо ввести вектор .

Тем самым задача сводится к устойчивости точки покоя .

Не вводя новых обозначений, считаем, что исследуемой на устойчивость функцией будет вектор-функция .

Формулировка устойчивости по Ляпунову для тривиального нулевого решения принимает вид:

Точка покоя системы устойчива по Ляпунову, если что из неравенства следует для всех .

Рассмотрим простейшие точки покоя при для линейных систем с :

Для этого исследуем общее решение системы. Характеристическое уравнение имеет вид

(3)

или сокращенно где след матрицы , а

Рассмотрим частные случаи.

1. Корни характеристического уравнения (3) – действительные различные числа где

Поиск общего решения производится в форме

Коэффициенты и с точностью до постоянного множителя определяются из однородной системы уравнений

При этом возможны следующие варианты.

1а) Если то точка покоя асимптотически устойчива. Устойчивость следует из того, что в какой бы -окрестности точка не находилась, с течением времени интегральная кривая остается внутри куба так как монотонно стремится к нулю. Поэтому можно положить равным . Система асимптотически устойчива, так как Точка покоя в этом случае называется устойчивым узлом (см.рис.2).

Рис.2.

1б) . Точка покоя здесь называется неустойчивым узлом. Форма интегральных кривых такая же , как в предыдущем случае, но стрелки направлены противоположно. Из любого куба со стороны (в нашем случаи из квадрата) с увеличением происходитудаление от точки покоя (рис.3).

Рис.3.

1в) Если корни характеристического уравнения разных знаков (пусть ), то точка покоя называется седлом. Это неустойчивая точка покоя. Только по одной прямой, когда а и отличны от нуля, движение по интегральной прямой с увеличением стремятся к нулю. Но при любом нельзя найти такую окрестность точки покоя, чтобы все интегральные кривые оставались внутри - квадрата (рис.4).

Рис.4.

2. Корни характеристического уравнения комплексные:

Общее решение системы имеет вид

где - некоторые действительные числа.

Рассмотрим частные случаи.

2а) . Общий множитель в формуле стремится к нулю, а и остаются ограниченными. Интегральные линии асимптотически приближаются к нулю при . Точка покоя называется устойчивым фокусом.

Рис.5.

2б) . Кривые имеют тот же вид, что и в случае 2а), однако с увеличением множитель неограниченно возрастает, стрелки спирали направлены в сторону удаления от точки покоя, которая называется неустойчивым фокусом (рис.6).

Рис.6.

2в) Корни чисто мнимые: . Общее решение имеет вид

Это граничная ситуация между рассмотренными случаями 2а) и 2б). Интегральные кривые являются подобными эллипсами, в общем случае вложенными друг в друга замкнутыми кривыми. Точка покоя называется центром. Это устойчивая точка покоя, так как можно найти квадрат такой, что все интегральные кривые будут целиком содержаться в квадрате . Но это не асимптотическая точка покоя, так как никакого стремления к нулю при нет.

3. Если корни кратные и действительные: , то частные случаи будут следующие.

3а)

Это асимптотически устойчивый узел (рис.7).

Рис.7.

Данный узел занимает промежуточное положение между узлом вида 1а) и устойчивом фокусом, когда появляется мнимая составляющая.

3б) . Как и в предыдущем случае - узел, но неустойчивый. Движение происходит в направлении от точки покоя. Все интегральные кривые касаются в точке покоя (рис.8).

Рис.8.

4. Если то общее решение имеет вид

.

Если из двух уравнений и исключить то получим семейство параллельных прямых:

.

4а) Если имеем устойчивую неасимптотическую точку покоя.

Рис.9.

4б) Если неустойчивая точка покоя.

Рис.10.

Классификация точек покоя при носит более сложный характер.

Например, пусть при решении кубического характеристического уравнения один из корней отрицателен и два других комплексно сопряжены с отрицательной действительной частью. Тогда интегральные кривые в окрестности точка покоя носят характер винтообразной спирали, направленной к точке покоя.

Устойчивость нулевого решения неоднородной системы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами дается следующей теоремой.

где матрица размера с элементами непрерывная вектор-функция, определённая для Пусть – собственные значения матрицы А. Тогда:

(1) если то всякое решение системы устойчиво;

(2) если для какого-либо то всякое решение системы неустойчиво.

Теорема не даёт ответа на вопрос об устойчивости решений в случае, когда при всех и для какого-либо

Нелинейные системы часто удаётся исследовать на устойчивость, осуществив линеаризацию системы, т.е. замену нелинейной на близкую к ней (в определённом смысле) линейную систему. А именно, пусть система имеет вид

(

Выделим каким-либо способом у функций главную линейную часть (т.е. разложим функции по формуле Тейлора до членов первого порядка):

где а достаточно мала. Тогда вопрос об устойчивости нелинейной системы сведётся к аналогичному вопросу для линейной системы с постоянными коэффициентами, а он рассматривался в предыдущей теореме. Точный математический смысл высказанного утверждения даётся следующей теоремой, доказательство которой здесь не приводится и может быть найдено в учебниках по дифференциальным уравнениям с более подробным изложением.