Производная сложной функции.

Пусть некоторая функция, где так же функция, тогда выражение является функцией, которая называется сложной функцией от переменной . Переменная в этом случае называется промежуточной.

Теорема 25. Если функция имеет производную в точке , то сложная функция имеет производную .

Доказательство. Пусть

, или

поэтому , где при . Отсюда

Рассмотрим примеры на применение теоремы 25.

Пример 48. Найти производную функции .

Решение. В нашем случае , . По теореме 25 имеем

Пример 50. Найти производную функции .

Решение. В нашем случае , , . По теореме 25 имеем

в произвольной точке этого интервала, то обратная ей функция так же имеет производную

то имеем

Пример 51. Рассмотрим функцию . Ее обратная . Тогда по теореме 26