Производная сложной функции.
Пусть некоторая функция, где
так же функция, тогда выражение
является функцией, которая называется сложной функцией от переменной
. Переменная
в этом случае называется промежуточной.
Теорема 25. Если функция имеет производную
в точке
, то сложная функция
имеет производную
.
Доказательство. Пусть
, или
поэтому , где
при
. Отсюда
Рассмотрим примеры на применение теоремы 25.
Пример 48. Найти производную функции .
Решение. В нашем случае ,
. По теореме 25 имеем
Пример 50. Найти производную функции .
Решение. В нашем случае ,
,
. По теореме 25 имеем
в произвольной точке этого интервала, то обратная ей функция
так же имеет производную
то имеем
Пример 51. Рассмотрим функцию . Ее обратная
. Тогда по теореме 26