Теории прочности

 

Теория прочности дает оценку прочности материала, нахо­дящегося в любом напряженном состоянии, по какому-либо решающему фактору (так называемому критерию прочности). За критерий прочности, как показывают многочисленные исследо­вания, можно принимать напряжения, деформации или энергию деформации (полную энергию или энергию изменения формы). Введение критерия прочности позволяет сопоставить данное сложное напряженное состояние с простым, например, с одно­осным растяжением и установить при этом такое эквивалентное (расчетное) напряжение sэкв, которое в обоих случаях дает одинаковый коэффициент запаса прочности.

Если в двух напряженных состояниях коэффициенты запаса равны, то они называются равноопасными. Для сравнения различных напряженных состояний за эталон (эквивалент) принято простое растяжение (сжатие) с главным напряжением sэкв.

Эквивалентное напряжение sэкв - это такое напряжение, которое следует создать в растянутом образце, чтобы его напряженное состояние было равноопасно заданному напряженному состоянию. Условие прочности записывается в виде sэкв £ [s].

Теории прочности представляют собой гипотезы о критериях, определяющих условия перехода материала в предельное состояние.

Рассмотрим некоторые из теорий прочности, заметив предварительно, что общий ход решения задачи построения любой из этих теорий будет следующим.

1. Вводят определенную меру прочности в виде прочности при линейном напряженном состоянии - при осевом растяжении (сжатии) или при чистом сдвиге.

2. Выбирают критерий прочности (напряжение, деформа­цию или энергию деформации).

3. Устанавливают характеристики прочности для элемента тела в сложном напряженном состоянии и отдельно - для ли­нейного напряженного состояния.

4. Составляя условие равнопрочности сложного и линейно­го напряженных состояний, получают расчетное уравнение прочности (условие прочности).

5. Проверяют полученное условие прочности на опытном материале.

В результате получения нового экспериментального мате­риала приходят к новым критериям прочности или вводят в по­лученные условия ряд новых постоянных.

Заметим, что характер разрушения различных материалов зависит не только от свойств и строения материала, но и от формы образца, способа проведе­ния испытаний, от характера нагружения (статическое, динами­ческое), от самого напряженного состояния, от начальных на­пряжений и т.д. Поэтому на первой ступени при разработке той или иной теории прочности приходится выделять лишь основ­ные решающие факторы.

Опасное состояние как для пластичных материалов (мо­мент появления больших остаточных деформаций), так и для хрупких (момент появления трещин) лежит на границе приме­нения закона Гука (с известным, достаточным для практики, приближением). Это позволяет при всех дальнейших вычисле­ниях, относящихся к проверкам прочности, пользоваться фор­мулами, полученными при условии применимости закона Гука.

В настоящее время имеется несколько десятков различных теорий прочности, которые последовательно выдвигались в свя­зи с новыми опытными данными, противоречащими некоторым теориям прочности, выдвинутым ранее. Основными теориями прочности принято считать следующие теории:

a) первая теория прочности (теория наибольших нормальных напряжений).

Первая теория прочности предложена Ламе (1830 г.) и раз­работана Рэйкиным (1888 г.). Согласно этой теории, преимуще­ственное влияние на прочность оказывает величина наибольше­го нормального напряжения.

Предполагается, что нарушение прочности в общем случае сложного напряженного состояния наступит тогда, когда наи­большее нормальное напряжение станет равным опасному (пре­дельному) напряжению при линейном напряженном состоянии (определяется экспериментально на образцах из данного мате­риала).

В соответствии с этим при расчетах на прочность ограничивается величина наибольших главных напряжений, которая не должна превышать допускаемого нормального напряжения [s]. Условие прочности имеет вид:

sэкв £ [s],

где sэкв = s1, если s1³ ; , если .

Итак, первую теорию прочности можно сформулировать следующим образом: прочность материала при сложном напря­женном состоянии обеспечена, если наибольшее нормальное напряжение не превышает допускаемого нормального напряже­ния при линейном напряженном состоянии.

Опытная проверка показывает, что эта теория прочности не отражает условий перехода материала в пластическое состояние и дает при некоторых напряженных состояниях удовлетвори­тельные результаты лишь для хрупких материалов (инструмен­тальная сталь, кирпич и т.д.).

К недостаткам первой теории прочности следует отнести то, что она учитывает лишь наибольшее главное напряжение, полагая, что два других не влияют на прочность.

б) вторая теория прочности(теория наибольших деформаций).

Данная теория впервые была высказана французскими уче­ными Мариоттом и Навье, а затем поддержана Понселе и Сен-Венаном.

Согласно этой теории, в качестве критерия прочности принимают наибольшую по абсолютной величине деформацию. Предполагается, что нарушение прочности в общем случае на­пряженного состояния наступает тогда, когда наибольшая де­формация emax достигает своего опасного значения eпред. Последняя определяется при про­стом растяжении или сжатии образцов из данного материала.

Для пластичного материала условие прочности имеет вид

,

где .

Если, например, , то .

Для хрупкого материала условие прочности имеет вид

, .

Вторую теорию прочности можно сформулировать так: прочность материала при сложном напря­женном состоянии обеспечена, если наибольшая деформация не превышает допускаемой деформации при линейно напряженном состоянии.

Опытная проверка второй теории прочности свидетельст­вует о ее применимости лишь для хрупкого материала (легиро­ванный чугун, высокопрочная сталь после низкого отпуска).

в) третья теория прочности(теория наибольших касательных напряжений).

Появление на поверхности образца линий скольжения при возникновении пластических деформаций и разрушении мате­риалов при растяжении по наклонному сечению, где действуют наибольшие касательные напряжения, дает основание принять эти напряжения в качестве критерия прочности. Впервые такое предположение было высказано французским физиком Кулоном в 1773 г. и подтверждено опытами Треска, Геста и других уче­ных.

Третья теория прочности, называемая теорией наибольших касательных напряжений, предполагает, что предельное состоя­ние в общем случае наступает тогда, когда наибольшее каса­тельное напряжение tmaxдостигает опасного значения tmin(tminопределяется при достижении предельного состояния в случае простого растяжения).

Условие прочности имеет вид:

,

где .

Откуда .

Таким образом, третья теория прочности может быть сфор­мулирована следующим образом: прочность материала при сложном напряженном состоянии обеспечена, если наибольшее касательное напряжение не превышает допускаемого касатель­ного напряжения для линейного напряженного состояния.

Третья теория прочности достаточно хорошо подтвержда­ется опытами для пластичных материалов, одинаково работаю­щих на растяжение и сжатие. Недостаток ее заключается в том, что она не учитывает среднего по величине главного напряже­ния s2, которое, как показывают эксперименты, также оказывает некоторое, хотя во многих случаях и незначительное, влияние на прочность материала.

г) четвертая теория прочности (теория наибольшей удельной потенциальной энергии формоизменения).

Рядом авторов было высказано предположение, что опас­ное состояние материала зависит не только от величины деформаций или напряжений в отдельности, а от их совокупности, т.е. от величины потенциальной энергии деформаций (которая вы­ражается через все три главных напряжения).

В конце XIX века итальянский ученый Бельтрами предложил в качестве критерия прочности принимать количество полной потенциальной энергии деформации в единице объема. Однако это предложение не нашло экспериментального подтверждения. В 1904 г. Губер, в 1913 г. Мезес и в 1924 г. Генки предложили в качестве критерия прочности принять не всю потенциальную энергию деформации, а только ту ее часть, которая идет на из­менение формы тела.

В связи с этим, в качестве критерия прочности принимается величина уде-льной потенциальной энергии формообразования, т.е. потенциальной энергии, идущей только на изменение фор­мы тела, не учитывающей деформации тела без искажения его формы.

В соответствии с этой теорией прочности нарушение проч­ности детали обусловлено переходом материала детали в пла­стическое состояние и появлением недопустимых пластических деформаций. Опасное состояние (текучесть) наступает тогда, когда удельная потенциальная энергия формоизменения дости­гает своего предельного значения.

Формулу удельной потенциальной энергии изменения формы получим из формулы полной удельной потенциальной энергии деформации (3.5), подставляя значение коэффициента Пуассона равного ν = 0,5.

Получим

,

Условие прочности имеет вид

,

где .

Откуда

Итак, согласно четвертой теории прочности, прочность ма­териала при сложном напряженном состоянии обеспечена, если наибольшая удельная потенциальная энергия формоизменения не превышает допускаемой удельной потенциальной энергии формоизменения для линейного напряженного состояния.

Опыты хорошо подтверждают третью и четвертую теорию прочности для пластичных материалов, одинаково работающих на растяжение и сжатие. Появление в материале малых пласти­ческих деформаций четвертой теорией определяется более точ­но, чем третьей.

д) теория прочности Мора.

Известно, что один и тот же материал в различных услови­ях нагружения ведет себя неодинаково, и деление материалов на хрупкие и пластичные имеет смысл только применительно к стандартным методам испытания образцов.

В настоящее время утвердилась точка зрения, согласно ко­торой каждый материал может разрушаться и хрупко, и пла­стично в зависимости от своей структуры, характера напряжен­ного состояния, соотношения главных напряжений, скорости нагружения, температуры и т.д. Следовательно, идеальной вы­глядела бы такая теория, которая охватывала бы оба состояния хрупкое и пластичное), конкретизируя при этом предельную стадию - разрушение или наступление текучести. Желательно также, чтобы учитывалось различие механических характери­стик при растяжении и сжатии, если такое наблюдается в экспе­рименте.

Теория Мора, отличающаяся от всех приведенных ранее, основана на предположении, что прочность материала в общем случае напряженного состояния, зависит главным образом от величины наибольшего s1и наименьшего s3главных напряже­ний, а среднее s2 на прочность влияет незначительно.

Эта теория целиком базируется на опытных данных и не нуждается в дополнительной экспериментальной проверке.

Эквивалентное напряжение по этой теории определяется по формуле

sэкв = s1 - ks3,

где -для пластичных материалов.

Для хрупких материалов отношение заменяется на . Условие прочности запишется в виде:

s1 - ks3 £ [s]p.

Наилучшие результаты эта теория дает для случая, когда s1 > 0, а s3 < 0. Это обстоятельство существенно, т. к. при решении практических задач напряженное состояние такого рода встречается чаще других. Для многих пластичных материалов, у которых sтр = sтс теория прочности Мора совпадает с теорией максимальных касательных напряжений.