Предел последовательности. Арифметические действия над пределами. Предел монотонной последовательности

Лекция 1. Последовательность и ее предел. Теоремы о пределах. Предел монотонной последовательности. Числовые ряды, их сходимость и расходимость. Действия со сходящимися рядами. Признак Коши сходимости рядов. Необходимый признак сходимости ряда. Знакоположительные ряды. Признаки сравнения, Даламбера и Коши

Семестр. Ряды

Ряды Тейлора. Условия разложимости функции в ряд Тейлора

Пусть функция имеет в точке и некоторой её окрестности производные [3] Тогда этой функции можно поставить в соответствие степенной ряд

 

Этот ряд называется рядом Тейлора, построенным по функции Возникают следующие естественные вопросы:

1) при каких условиях на функцию ряд сходится и какова область его сходимости?

2) при каких условиях на функцию ряд сходится именно к функции по которой он строится?

На первый вопрос можно ответить, применяя к признаки сходимости степенных рядов. Второй вопрос кажется странным (разве может он сходиться не к функции ?).

Однако ничего странного в нем нет, так как существуют функции, ряды Тейлора которых сходятся к другим функциям. Рассмотрим, например, функцию

 

График этой функции указан ни рисунке. Эта функция не равна тождественно нулю в любой окрестности точки Однако её ряд Тейлора имеет вид Действительно,

.

Он, очевидно, сходится к функции в любой окрестности точки Следовательно, ряд Тейлора этой функции не сходится к ней. Посмотрим, какие следует наложить ограничения на функцию чтобы её ряд сходился именно к ней.

Запишем для неё формулу Тейлора :

 

где точка находится между и Из нее вытекает следующее утверждение.

Теорема 5(необходимое и достаточное условие разложимости функции в свой ряд Тейлора).Для того чтобы функция разлагалась в ряд ,сходящийся в окрестности именно к необходимо и достаточно, чтобы остаточный член ее формулы Тейлора стремился к нулю, т.е.

Однако эта теорема носит теоретический характер. Прикладной характер имеет следую-

щее утверждение.

Теорема 6(достаточные условия разложимости функции в свой ряд Тейлора).Пусть функция , т.е. является бесконечно дифференцируемой в окрестности точки Если все ее производные ограничены одной и той же константой в этой окрестности: , то ряд Тейлора этой функции сходится в указанной окрестности именно к (в этом случае говорят, что разложима в ряд Тейлора в окрестности ).

Доказательство этой важной теоремы мы проведем на следующей лекции, а так же дадим обоснование выписанных ниже формул Маклорена-Тейлора (заметим, что если в ряде центр раложения то его называют рядом Маклорена-Тейлора).

 

 

Таблица 1. Разложения основных элементарных функций в степенные ряды

 

 

 

 

[1] Здесь и всюду ниже натуральное число (номер).

[2] Впредь ковычки будем опускать.

[3] В этом случае говорят, что функция бесконечно дифференцируема в окрестности .

В каждой лекции все формулы, определения и теоремы нумеруются так же, как и в предыдущей лекции, с цифры 1 (т.е. нумерация не продолжается от лекции к лекции). Это удобно при чтении лекций.

На предыдущих лекциях подробно изучались функции непрерывного аргумента, их пределы и свойства пределов. В теории рядов фундаментальную роль играют последовательности (т.е. функции дискретного аргумента) и их пределы. Перейдем к изучению соответствующего теоретического материала.

 

Последовательностью называется функция натурального аргумен-

та. При этом называется общим членом, а множество областью определения последовательности

Например, последовательность, называемая арифметической прогрессией ( постоянные, не зависяшие от ). Другой пример: Здесь областью определения является множество

Определение 1.Число называется пределом последовательности при ес-

ли [1] При этом пишут и если этот предел существует и конечен, то говорят, что последовательность сходится; в против-

ном случае она называется расходящейся последовательностью.

Перечислим основные свойства предела последовательности.

1. Если предел существует, то он единственный.

2. Если в последовательности отбросить любое конечное число членов или заменить их на любые другие числа, то новая последовательность и старая последовательность будут одновременно расходиться или сходиться (к одному и тому же пределу ).

Из этого свойства вытекает, что не умоляя общности, можно считать, что последовательность определена при всех

3. Если предел существует и конечен, то последовательность ограничена, т.е.

4. Если пределы существуют и конечны, то существуют и пределы

Если при этом то существует и предел частного

5(критерий Коши сходимости). Для того чтобы существовал конечный пределнеобходимо и достаточно, чтобы

 

6. При любом фиксированном последовательности и одновременно сходятся или одновременно расходятся, причем в случае сходимости они имеют один и тот же предел

7.Если последовательность не убывает (т.е. если ) и ограничена сверху (т.е. ), то она имеет конечный предел Ана-

логичное утверждение верно и для невозрастающей и ограниченной снизу последовательнос-

ти

Определение 2.Последовательность называется бесконечно малой, если При этом пишут Две бесконечно малые последовательности и назы-

ваются эквивалентными, если При этом пишут

8. Для того чтобы существовал (конечный) предел необходимо и достаточно, чтобы имело место представление

9. Если то

При вычислении пределов последовательности часто используется следующая таблица эквивалентных бесконечно малых.

Таблица 1.

Если при то при верны следующие соотношения:

 

.

10)

Например, при вычислении предела заменяем ,

Будем иметь

2. Числовые ряды, их сходимость и расходимость. Действия со сходящимися рядами. Признак Коши сходимости. Необходимое условие сходимости ряда. Признаки сходимости для знакоположительных рядов

Мы переходим к изучению бесконечных сумм, называемых рядами. Дадим их точное определение и придадим им здравый математический смысл.

Определение 3. Формальная сумма бесконечного числа слагаемых

(чисел), называется числовым рядом. При этом конечная сумма называется й частичной суммой этого ряда, его общим членом, а сумма м остатком этого ряда.

Определение 4. Говорят, что ряд сходится к сумме если существует конечный предел последовательности его частичных сумм. При этом пишут Если указанный предел либо не существует, либо равен бесконечности, то говорят, что ряд расходится.

На языке “ ” это определение записывается так:

Ряд сходится к сумме

Важный пример.Рассмотрим ряд

(геометрическая прогрессия).

Здесь: знаменатель, первый член прогрессии. Вычислим частичную сумму

 

Отсюда видно, что если то Если или то Если же то Эта последовательность не имеет предела при Согласно определению (4) получаем, что при прогрессия (1) сходится к сумме а при она расходится.

Применяя свойство 2, сформулированное выше, к последовательности частичных

сумм ряда , приходим к выводу, что на сходимость (расходимость) этого ряда не влияет его любое конечное число членов; их можно отбросить или заменить на другие числа. Вновь полученный ряд будет вести себя в смысле сходимости расходимости так же, как и исходный ряд.

Из свойства 4, примененного к частичным суммам сходящихся рядов

 

вытекает следующее утверждение.

Теорема 1.Если ряды (2) и (3)сходятся к суммам и соответственно, то при любых значениях постоянных и сходится и ряд причем

Эта теорема показывает, что сходящиеся ряды подчиняются тем же арифметическим законам, что и конечные суммы. Применяя свойство 5 к последовательности частичных сумм ряда (2), получим следующий критерий Коши сходимости для рядов:

10. Для того чтобы ряд (2) сходился, необходимо и достаточно, чтобы

Применим этот критерий для доказательства необходимого признака сходимости ряда.

Теорема 2.Если ряд сходится, то его общий член стремится к нулю, т.е.

Доказательство.Так как указанный ряд сходится, то для его частичных сумм справедлив признак Коши10, который при переходит в высказывание

Это высказывание означает, что а, следовательно (см. свойство 6), Теорема доказана.

Замечание 1. Утверждение, обратное к теореме 1, вообще говоря, не верно. Например,

ниже будет показано, что так называемый гармонический ряд расходится. Однако его общий член при Полезность необходимого признака заключается в том, что если общий член при то ряд заведомо расходится. Например, ряды расходятся, так как их общие члены не стремятся к нулю при

Используя критерий Коши сходимости 10, нетрудно доказать так же следующее утверждение.

11. Если остаток при каком-нибудь сходится, то и сходится сам ряд

Обратно: если сходится ряд то при любом сходится и любой его остаток причем

Кстати, из этой теоремы также вытекает, что на сходимость (расходимость) ряда не влияет любое конечное число его членов. Ниже будет использоваться следующее очевидное утверждение.

11. Какова бы ни была постоянная ряды сходятся или расходятся одновременно.