Лекция 4-5. Момент силы относительно неподвижной точки и оси. Момент инерции, момент импульса материальной точки и механической системы относительно неподвижной точки и оси.

Лекция 3. Силы. Масса, импульс материальной точки и механической системы. Динамика поступательного движения в инерциальных системах отсчета. Закон изменения импульса механической системы. Закон сохранения импульса.

Динамика изучает движение тел с учетом причин, вызывающих изменение состояния, т.е. в конечном случае причин вызывающих ускорение.

1-й закон Ньютона: Всякое свободное тело сохраняет состояние покоя или равномерного прямолинейного движения, пока не понуждается другими телами выйти из этого состояния.

Данное утверждение справедливо только для инерциальных систем отсчета, т.е. таких систем в которых свободное тело ( не взаимодействующее с другими телами ) покоится или движется равномерно прямолинейно.

2-й закон Ньютона: Сила F - мера механического взаимодействия между телами. Масса m способность тела сопротивляться изменению их скорости, т.е. мера инертности. Импульс векторная величина, равная произведению массы на скорость Взаимодействующие тела получают ускорения обратно пропорционально их массам и пропорционально силе действующей между телами.

Импульс силы равен изменению импульса тела .

3-й закон Ньютона: Силы взаимодействия между двумя телами всегда равны по величине и направлены в противоположные стороны вдоль одной прямой.

Силы в механике :

Все силы в конечном итоге есть проявление фундаментальных взаимодействий: сильного, электрослабого, гравитационного.

В механике силы классифицируются не только в зависимости от их природы, но и по характеру их действия.

1. Гравитационная сила

2. Сила упругости (квазиупругая)

3. Сила поверхностного натяжения

4. Сила сухого трения

5. Сила вязкого трения

Также силы делятся на консервативные и неконсервативные. Консервативные это такие силы, работа которых по замкнутому контуру равна 0 .

Механическая система – это система материальных точек, в которой определяющим является механическое взаимодействие, т.е. посредством сил.

Масса механической системы равна сумме масс, составляющих ее материальных точек

Импульс механической системы равен сумме импульсов составляющих ее материальных точек

Центр масс механической системы, это точка, связанная со всеми телами системы и движущаяся так же, как материальная точка массы M под действием тех же сил.

Пусть радиус-вектор проведенный из точки опоры О к данной материальной точке системы m_i равен . Тогда радиус-вектор центра масс .

Найдем скорость центра масс:

Импульс системы

Уравнение динамики механической системы

Пусть система состоит из N материальных точек m_i. На каждую точку действуют два вида сил:

Равнодействующая всех внешних сил , действующих на i-ю точку системы,

и равнодействующая всех внутренних сил действующих на i-ю точку системы со стороны других j-х точек системы .

Запишем систему уравнений динамики всех i-х точек:

Просуммируем все уравнения:

в соответствии с 3-м законом Ньютона все внутренние силы компенсируют друг друга.

- теорема (закон) об изменении импульса механической системы, - равнодействующая всех внешних сил, действующих на систему.

С использованием понятия центра масс уравнение динамики механической системы:

Закон сохранения импульса:

Теорема об изменении импульса механической системы - векторное соотношение. Если спроецировать его на произвольное направление, например, x, то получится:

, если предположить, что = 0

то, ,

Закон сохранения импульса – если проекция равнодействующей внешних сил механической системы на произвольную ось равна 0, то сумма проекций импульсов всех тел системы на эту ось остается неизменной.

В частном случае, если равнодействующая всех внешних сил равна 0 (такую систему называют замкнутой), то импульс системы остается неизменным.

Закон изменения момента импульса механической системы (уравнение моментов). Закон сохранения момента импульса механической системы.

Момент силы

Все знакомы с определением момента силы- это произведение силы на плечо, однако это лишь частный случай. В общем случае моментом силы относительно неподвижной точки O называется вектор (псевдовектор)

αz

Модуль вектора , где α –угол между векторами вектор M направлен перпендикулярно плоскости образованной векторами в направлении подчиняющемуся правилу правого винта .

Момент силы относительно оси (например z) M_z это проекция вектора на ось z.

где - проекция вектора F на плоскость перпендикулярную оси z, - расстояние от оси z до линии действия силы F.

Момент силы характеризует способность силы вращать тело относительно оси или точки.

Пара сил – это две одинаковые по модулю силы, но направленные в противоположные стороны и имеющие различные точки приложения.

Полный момент такой пары сил можно получить суммированием векторов моментов этих сил относительно точки О.

Следовательно, пара сил образует момент сил , так как не зависит от положения точки О .

Момент импульса

Момент импульса материальной точки относительно точки О это вектор, который вводится аналогично моменту силы.

В общем случае моментом импульса относительно неподвижной точки O называется вектор (псевдовектор)

αz

Модуль вектора , где α –угол между векторами вектор L направлен перпендикулярно плоскости образованной векторами в направлении подчиняющемуся правилу правого винта .

Момент импульса относительно оси (например z) L_z это проекция вектора на ось z,

Момент импульса характеризует степень вращательного движения материальной точки вокруг оси или точки.

Момент импульса механической системы относительно точки О можно вычислить путём суммирования векторов для каждой из материальных точек системы.

Момент импульса механической системы относительно оси z можно вычислить путём суммирования проекций момента импульса для каждой из материальных точек системы на ось z.

Теорема об изменении момента импульса механической системы

Пусть в механической системе i-ая материальная точка взаимодействует с k-ой материальной точкой посредством внутренних сил действия и противодействия . Сумма внешних сил действующих на i-ю материальную точку равна . Соответственно, моменты этих сил для точки О равны

Тогда запишем систему уравнений движения для всех точек системы и умножим каждое уравнение на соответствующий радиус-вектор, проведенный из точки О:

, далее

Просуммируем полученные уравнения с учетом того, что

, получим

-закон (теорема) об изменении момента импульса

механической системы, аналог второго закона Ньютона во вращательном движении.

При вращении относительно неподвижной оси z данное векторное уравнение необходимо спроектировать на ось z.

- уравнение динамики при вращении относительно неподвижной оси.

Закон сохранения момента импульса

Если момент внешних сил, действующих на механическую систему относительно произвольной оси z равен нулю, то момент импульса этой механической системы L_z относительно оси z остается неизменным. В частном случае, если момент внешних сил относительно точки О равен нулю (замкнутая система), то момент импульса относительно точки L остается неизменным.

Вращение твердого тела относительно неподвижной оси

Твердое тело это система материальных точек с неизменным расстоянием между ними. При вращении тела относительно неподвижной оси z жестко связанной с телом, кратчайшее расстояние каждой материальной точки до оси определяется вектором , модуль которого равен и постоянен. Уравнение динамики в этом случае .

Рассчитаем L_z учитывая, что скорость материальной точки в процессе вращения лежит в плоскости перпендикулярной оси вращения и перпендикулярна .

- где - момент инерции тела относительно оси, а - момент импульса твердого тела при вращении относительно неподвижной оси z.

Тогда основное уравнение динамики вращательного движения относительно неподвижной оси будет выглядеть следующим образом:

При вращении относительно неподвижной оси твердого тела закон сохранения момента импульса выглядит следующим образом:

Момент инерции

При вычислении момента инерции относительно различных осей, проходящих через центр масс можно установить, что моменты инерции относительно трех главных взаимно-перпендикулярных осей Iмин, Iср, Iмакс дают полную информацию о распределении масс в объеме тела. При этом при вращении относительно этих осей

с постоянной скоростью моментов сил не возникает. Вращение относительно Iмакс – устойчиво.

Вычисление моментов инерции стандартных тел:

где - удельная плотность вещества, V – объем тела.

Интегрирование дает следующие результаты для моментов инерции относительно осей проходящих через центр масс:

Наименование	Формула
Стержень длины l массы m, относительно перпендикулярной оси
Кольцо радиуса R массы m , относительно собственной оси
Диск радиуса R массы m , относительно собственной оси
Шар радиуса R массы m , относительно произвольной оси

Зная момент инерции относительно оси проходящей через центр масс, можно посредством теоремы Гюйгенса-Штейнера рассчитать момент инерции относительно любой другой оси параллельной данной. Теорема Гюйгенса-Штейнера :

Момент инерции относительно произвольной оси равен моменту инерции относительно параллельной оси проходящей через центр масс I_c плюс произведение массы тела M на квадрат расстояния между осями d.