Остаточ-й член ряда Тейлора. Фор-ла Тейлора.

Запишем ф-ю в виде

Докажем теорему о структуре , которая позволит устанавливать, стремится ли к нулю при , т. е. разлагается в ряд Тейлора или нет.

Теорема.Если во всех точках некоторого интервала, содержащего точку , имеет производную , то для всякой точки, принадлежащей интервалу, остаточный член равен где

Док-во. Запишем остаточный член в виде

Найдем такое, чтобы для всякого , принадлежащего интервалу, выполнялось

Зафиксируем Тогда Докажем, что это выражение равно

При из теоремы Лагранжа

Для других построим вспомогательную ф-ю удовлетворяющую теореме Роля. Пусть При заменив его значением, получим Найдем

Только подчеркнутые члены не сокращаются. Производная сущ-ет во всех точках интервала. Вынося общий множитель за скобки, получим Подставим вместо значение при котором Тогда т. е. Т. к. - любая точка интервала, то теорема доказана.

Формула Тейлора для ф-и в точке

При выводе формулы предполагалось, что имеет производные до -й, где какое-то число. Другие производные нас не интересовали.

Частные случаи

1) Это формула Лагранжа.

2) или Это линейная аппроксимация.

Т. к. - неизвестна, то нужно только оценить. Пусть в интервале, где формула Тейлора справедлива, Тогда для всякого принадлежащего интервалу

Док-во.