Линейные ДУ 2-го порядка без правой части.

(**)

Считаем, что непрерывны на Тривиальное решение

Теорема 1. Если - решения ДУ (**), то их линейная комбинация также явл-ся реш-м ур-я (**) для любых

Док-во:

Подставим в ур-е

Теорема 2. Если - решения ДУ (**) и то общее решение ДУ.

Док-во: Покажем, что можно подобрать так, чтобы реш-е удовлетворяло нач-м усл-м. Подставим нач-е усл-я в выражения для и Покажем, что определитель Если это так, то система имеет реш-е

Предположим обратное. Определитель равен 0. Тогда система при нулевых нач-х усл-х помимо нулевого, имеет бесконечное мн-во ненулевых реш-й. Пусть одно из них. Тогда Следов-но что противоречит усл-ю.