Кривол-й интеграл 2-го рода по коорд-м

Задача о работе силового поля.

Кривол-й интеграл 2 рода (по коорд-м). Св-ва, вычисление, применение.

Предположим, что в обл-ти задано плоское силовое поле. Т. е. на материальную точку в действует сила определенная для всякой точки Считаем, что поле стационарное (не зависит от времени )

Пусть материальная точка движется по линии

Разобьем линию на частей точками

Работа на отрезке равна или Тогда Просуммируем по всем отрезкам Выражение в правой части наз-ся интегр-й суммой по линии Пусть длина частичного участка разбиения кривой Переходя к пределу получим истинную величину работы

Определение.Кривол-м интегр-м 2-го рода по линии наз-ся предел интегр-й суммы при стремлении к 0 длины наиб-го частичного участка разбиения кривой

В частности, если то интеграл примет вид и наз-ся кривол-м интегралом по коорд-те Если то интеграл примет вид и наз-ся криволинейным интегралом по координате

Работа силового поля по кривой есть где - проекции сил поля на оси координат.

Вычисление кривол-го интеграла 2-го рода. Оно сводится к вычислению определенных интегралов.

Например, вычислим кривол-й интеграл 2-го рода от точки до точки по линии заданной парам-ски где ф-ции непрерывны со своими производными. Рассмотрим интегральную сумму

Из формулы Лагранжа

В качестве промежуточной точки выберем

Преобразованная сумма будет обыкнов-й интегр-й суммой для ф-ции одной переем-й а ее предел – определ-м интегр-м Т. е.

Аналогично

Правило. Вычисление кривол-го интеграла 2-го рода от точки до точки по линии производится по формуле

Следовательно, кривол-й интеграл 2-го рода всегда сущ-т, если непрерывны, а непрерывны со своими производными.

Если ур-е линии задано в явном виде то, полагая имеем

Если линия задана ур-ми разных видов, то линию нужно разбить на отдельные участки интегр-я.