Степени мнимой единицы

Комплексные числа

Понятие мнимой единицы- i от французского слова imaginaire - "мнимый", число i называется мнимой единицей и определяется равенством:

i ² = -1, i = √ -1,

такое определение позволяет извлекать корни из отрицательных чисел.

√-¼ = √ ¼ * √-1= 1/2

i= i

i ² = -1

i ³ = -1i=-i

i ⁴ = -ii= -(-1)=1

i ⁵ = i

i ⁶ = ii= -1

i ⁷ = -1i = -i

i ⁸ = -ii= -(-1)=1

 

i, -1,-i, 1 .i.-1,-i,1.... c периодом равным 4,

n кратно 4 значение степени 1,

n=4k+1 ......... i

n=4k+2 ......... -1

n=4k+3 ......... -i

 

Комплексные числа - выражения вида Z= x+iy,

где x и y действительные числа, i -мнимая единица.

два комплексных числа равны Z₁=х₁+iy₁,Z₂=х₂+iy₂, если x₁=x₂, y₁=y₂. Z=0, если x=0, y=0

У действительных чисел x и y,

x= Rex- действительная часть комплексного числа Z

y= Imz- мнимая часть числа Z

 

Два комплексных числа Z= x+ iy и Z`=x- iy называются сопряженными.

 

Арифметические операции над комплексными числами в алгебраической форме Z= x+ iy проводятся по правилам действий над многочленами.

Даны комплексные числа Z₁=2+3i, Z₁=5-7i. Найти: Z₁+Z₂, Z₁-Z₂, Z₁Z₂

Z1+Z2= 2+3i+5-7i=7-4i

Z1-Z2= 2+3i-5+7i=-3=10i

Z1Z2= (2+3i)*(5-7i)=10+15i-21i в2- 14i= 10+i-21i в 2= 31+ i

Тригонометрическая формула комплексного числа: Z= r(cos q+ i sin q),

где r= |Z| = √ (x ² + y ²)- модуль комплексного числа

q= arg Z- аргумент комплексного числа, cos q= x / √(x ² + y ²⁾, sin q= y / √(x ² + y ²)

из значений q= arg Z выделяется главное значение arg Z, удовлетворяющее условию -п <arg Z ≤ п.