КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ 8 страница
j=enu (8.1.4)
Здесь n – концентрация свободных электронов, u – их скорость дрейфа. Заметим, что заряд электрона отрицательный, и векторы скорости дрейфа и плотности тока направлены противоположно, так что в формуле (8.1.4) можно поставить знаки векторов над 
и 
. Поле вектора плотности тока, подобно другим векторным полям[29], рисуют линиями, касательные к которым указывают его направление, а густота линий – его модуль. Они называются линиями тока. Линии тока есть траектории упорядоченного движения носителей.
§ 8.2. Механизм электропроводности
1. Линии постоянного тока замкнутые. Это значит, что цепь постоянного тока должна быть замкнутой. Под действием электростатического поля положительные заряды перемещаются от большего потенциала к меньшему, а отрицательные в противоположном направлении. Такой участок цепи называется однородным. Достигнув конца такого участка, носители снова должны попасть к его началу. Следовательно, в замкнутой цепи обязательно должен быть участок, на котором положительные носители движутся от меньшего потенциала к большему, а отрицательные по-прежнему навстречу им. На таком участке помимо сил электростатического поля на носители должны действовать другие силы, преодолевающие действие электрических сил. Такие силы называются сторонними, они имеют неэлектростатическую природу. Участок цепи, где действуют сторонние силы, называется неоднородным, и им является источник тока. Таким образом, постоянный ток в замкнутой цепи создает источник постоянного тока. Он характеризуется электродвижущей силой e и внутренним сопротивлением r[30].
2. Применим знакомый нам из молекулярной физики статистический метод для рассмотрения механизма электропроводности, например, в металлическом проводнике. На однородном участке цепи на носитель тока (электрон проводимости) действует только электрическое поле силой F=eE и сообщает ему ускорение a= eE/m. При столкновениях с кристаллической решеткой, причиной которых является тепловое движение, скорость упорядоченного движения носителя падает до нуля. За время свободного пробега t до следующего столкновенияона вырастает от нуля до at= eEt/m. Скорость дрейфа (средняя скорость направленного движения), создающая электрический ток, u= at/2. Расчеты показывают[31], что средняя скорость теплового движения u >>u, так что t=l/u (l- средняядлина свободного пробега носителя). Используя формулу (8.1.4), получаем: j=
. Сомножитель перед Е в правой части формулы не зависит от электрического поля. Он определяется только свойствами проводника: концентрацией носителей тока -n , их массой – m и зарядом - e, скоростью теплового движения -u, длиной свободного пробега -l и называется удельной электропроводностью g материала проводника. В справочных таблицах чаще указывают удельное сопротивление материала r=1/g. Поученная нами формула выражает закон Ома для однородного участка цепи в дифференциальной (локальной) форме:
j=gЕ=Е /r (8.2.1)
Работа электрического поля на длине свободного пробега разгоняет носитель до скорости at= eEl/(mu) и сообщает ему дополнительную кинетическую энергию упорядоченного движения mu2/2=(eEl)2/(2mu2). Теперь при столкновении с частицами материала (его кристаллической решеткой) носители передают им и эту добавочную энергию, которая преобразуется в энергию хаотического движения всех частиц, т.е. во внутреннюю энергию. Такой способ изменения внутренней энергии тела называется передачей ему количества тепла. За единицу времени каждый носитель испытывает 1/t=u /l столкновений, и столько же раз отдает тепло. Количество тепла, переданное решетке всеми носителями тока в единице объема за единицу времени называется удельным тепловыделением
Qуд.= n(eEl)2/(2mu2t) =
. Таким образом, мы получили закон Ленца – Джоуля в дифференциальной (локальной) форме:
Qуд=gЕ2=Е2/r = jЕ (8.2.2)
3. На неоднородном участке цепи (внутри источника тока) на носители кроме кулоновских сил действуют еще сторонние силы. Будем их рассматривать как поле сторонних сил с напряженностью 
и учтем его действие на носители. Тогда закон Ома в дифференциальной форме для неоднородного участка примет вид:
(8.2.3)
§ 8.3. Законы постоянного тока.
1. Пусть однородный участок цепи представляет собой однородный проводник длиной l с постоянной по длине площадью поперечного сечения S. Применим формулу (8.2.1), умножив ее левую часть на S, а правую на S l/ l: j S=Е l(S /r l). Учитывая, что jS=I, Е l=j1 -j2=U, r l / S =R – сопротивление проводника, получаем хорошо знакомый из школы закон Ома для однородного участка цепи:
I=
(8.3.1)
2. Протеканию тока по проводнику (упорядоченному движению носителей) мешает тепловое движение. Это проявляется в индивидуальной характеристике проводника – его сопротивлении. Сопротивление проводника зависит от его геометрии и от электропроводности материала. Для однородного проводника постоянного сечения
R=
(8.3.2)
Эта формула имеет прозрачный физический смысл: чем длиннее проводник, тем труднее носителям преодолеть этот путь, и, наоборот, чем больше сечение проводника, тем легче им это сделать (полная аналогия с водопроводной трубой). Опыт показывает, что при температурах, не слишком близких к 0 К, удельное сопротивление r линейно растетс ростом температуры. Это свойство используется в термометрах сопротивления – устройствах, измеряющих температуру по электрическому сопротивлению. Рассмотренная нами в предыдущем параграфе модель электронного газа проводимости объясняет эту тенденцию: при увеличении температуры увеличивается средняя энергия хаотического движения, соответственно, учащаются столкновения частиц, мешая направленному движению носителей. Правда, эта классическая модель не дает количественного согласия с теорией, она слишком груба для описания поведения электронов, они не являются макротелами. Некоторые проводящие ток материалы при низких температурах (порядка нескольких кельвин) переходят в сверхпроводящее состояние: сопротивление становится равным нулю. Впервые такое явление было обнаружено у ртути при Т=4 К в 1911 г. В настоявшее время известно много таких материалов и с более высокой температурой сверхпроводящего состояния. Сверхпроводники представляют большой интерес для техники: для поддержания в них тока не нужен постоянно действующий источник тока. Однако получение сверхпроводящего состояния требует больших энергетических (соответственно, материальных) затрат для охлаждения до сверхнизких температур.
Элементы электрической цепи, обладающие сопротивлением, называются резисторами. На практике для получения необходимого сопротивления используют последовательное и параллельное соединение резисторов друг с другом. При последовательном соединении резисторов их сопротивления складываются:
R=SRi (8.3.3)
При параллельном соединении резисторов складываются обратные величины сопротивлений (электропроводности):
(8.3.4)
Выведите формулы (8.3.3) и (8.3.4) самостоятельно.
3. Рассмотрим неоднородный участок цепи постоянного тока, содержащий источник тока, внутри которого на носители действуют электростатическое поле и поле сторонних сил. Для такого участка справедлива формула (8.2.3). Умножим ее скалярно на элемент длины линии тока 
и проинтегрируем вдоль линии тока на рассматриваемом участке длиной l. Векторы и 
, рассматриваемые в этой формуле, направлены по касательной к линии тока, как и , так что в их скалярном произведении можно опустить знаки векторов: 
. Здесь пределы интегрирования соответствуют начальной – 1 и конечной – 2 точкам линии тока. При j=const 
; 
;
e 12 (8.3.5)
e 12 - называется ЭДС (электродвижущая сила), действующая на участке цепи 1-2. Она, как и разность потенциалов, измеряется в вольтах и имеет смысл работы сторонних сил по перемещению единичного положительного заряда по данному участку. ЭДС – скалярная энергетическая характеристика источника тока. Учитывая, что I=jS , R=rl/S=l/gS, получаем формулу закона Ома для неоднородного участка цепи:
IR= j1- j2+ e 12 (8.3.6)
4. Ранее мы отмечали, что постоянный ток течет в замкнутой электрической цепи, имеющей источник постоянного тока. Внутри источника тока на носители действуют сторонние силы, их работа обеспечивает ток в цепи. Источник тока называют внутренним участком замкнутой цепи. Работа сторонних сил по перемещению положительного единичного заряда по замкнутой цепи называется ЭДС источника тока - e. Направленному движению носителей внутри источника мешает тепловое движение, т.е. источник имеет внутреннее сопротивление – r. e и r – индивидуальные характеристики источника тока, не зависящие от силы тока в нем. Внешний по отношению к источнику тока участок цепи называется нагрузкой. Обычно он состоит из соединенных друг с другом резисторов с общим сопротивлением R. Применим формулу (8.3.6) к замкнутой цепи, в которой точки 1 и 2 совпадают, так что j1=j2, а общее сопротивление складывается из сопротивлений внешнего и внутреннего участков цепи. В результате получим закон Ома для замкнутой цепи. Его формула:
I=e /(R+r) (8.3.7)
§ 8.4. Работа и мощность тока
Рассматривая механизм электропроводности металлов, мы получили формулу (8.2.2). Применим ее к однородному проводнику длиной l и площадью сечения S. Вычислим количество тепла, выделяемое в этом проводнике током I за время t: Q=QудVt=jЕlSt=UIt. Мы получили хорошо известную из школьного курса физики формулу закона Джоуля-Ленца. Источником тепла является работа тока. В рассматриваемом нами случае проводник неподвижен, в нем не происходит химических превращений, так что работа тока целиком идет на увеличение внутренней энергии проводника.
Используя закон Ома для однородного участка цепи, приведем разные формулы работы постоянного тока:
A=IUt=I 2Rt =
(8.4.1)
Учитывал, что мощность равна работе в единицу времени, получили формулы мощности постоянного тока:
P=IU=I 2R =
(8.4.2)
§ 9.1 Магнитное взаимодействие. Магнитное поле
1. Опыт показывает[32], что два параллельных проводника притягиваются, если токи в них текут в одном направлении, и отталкиваются, если токи текут в противоположные стороны (рис.44). Эти же проводники без токов никак не реагируют друг на друга.
 |
Рис. 44
Проводник является электрически нейтральным телом, отрицательный заряд электронных оболочек атомов компенсирует положительный заряд их ядер. Ток в нем создается упорядоченным движением носителей внутри проводника, при этом суммарный электрический заряд проводника по-прежнему равен нулю. Отмеченное взаимодействие проводников с током нельзя объяснить кулоновскими силами.
Еще один опыт – проводник с током оказывает ориентирующее действие на магнитную стрелку. Вблизи прямолинейного тока магнитная стрелка устанавливается поперек проводника, при изменении направления тока на противоположное, стрелка поворачивается на 1800. Впервые на это явление обратил внимание Эрстед (1820 г.), именно этот его опыт продемонстрировал связь электричества и магнетизма и явился началом построения теории электромагнитных явлений.
2. Между движущимися электрическими зарядами (токами) возникает дополнительное взаимодействие. Оно называется магнитным и осуществляется магнитным полем. Движущийся электрический заряд изменяет свойства окружающего его пространства, создавая вокруг себя не только электрическое, но и магнитное поле. В отличие от электростатического поля магнитное поле действует только на движущиеся в нем «чужие» электрические заряды. Магнитное поле обнаруживает себя также действием на проводники с током и постоянные магниты[33]. Силовая характеристика магнитного поля называется магнитной индукцией 
. В СИ магнитную индукцию измеряют в тесла (Тл). Магнитное поле известно, если известен вектор в каждой его точке. Как и электрическое поле, магнитное поле можно изображать силовыми линиями. В магнитном поле это линии магнитной индукции: С помощью железных опилок (миниатюрных магнитных стрелок) силовые линии магнитного поля можно визуализировать. Направление вектора магнитной индукции в данной точке указывает касательная к силовой линии, густота силовых линий вблизи этой точки равна (пропорциональна) модулю магнитной индукции.
Помимо есть еще одна связанная с ним дополнительная характеристика: напряженность магнитного поля 
. В СИ напряженность магнитного поля измеряют в амперах на метр (А/м). В вакууме 
, m0 – магнитная постоянная, в СИ m0=4p.107Гн/м. В веществе 
, где m - магнитная проницаемость вещества, безразмерная величина.
§ 9.2. Закон Био-Савара-Лапласа
1. Этот закон позволяет рассчитать магнитное поле, созданное тонким произвольной формы проводником с током. Лаплас теоретически обобщил результаты экспериментального изучения Био и Саваром магнитного поля вокруг проводников с током (1820 г.). На рис.45 представлен отрезок криволинейного проводника, направление тока в нем указано стрелкой. Выделим элемент длины проводника dl. Элементом тока называется вектор 
, он направлен по касательной к проводнику в данной точке. Элементарное магнитное поле, созданное этим элементом тока в некоторой точке пространства (ее положение относительно элемента тока задает вектор 
), выражает закон Био-Савара-Лапласа:
(9.2.1)
Вектор 
направлен перпендикулярно векторам и по правилу векторного произведения, т.е.по касательной к изображенной на рис. 45 окружности. Его модуль
(9.2.2)
Магнитное поле, созданное всеми элементами тока проводника, найдем по принципу суперпозиции:
(9.2.3)
Рассмотрим примеры расчета магнитного поля тока.
2. Поле в центре кругового тока (рис.46). По тонкому проводнику, имеющему форму окружности радиуса r, течет постоянный ток I. Векторы и взаимно перпендикулярны, первый направлен по касательной к окружности, второй – по радиусу в центр. Векторы всех элементов тока направлены вдоль оси окружности, так что 
. Кружок на интеграле означает, что перемещение образует замкнутый контур, его длина 2pr. Магнитная индукция в центре кругового витка с током
(9.2.4)
Отметим, что направление вектора магнитной индукции в центре кругового 
тока и направление тока в витке связаны правилом правого винта.
Подобным образом можно рассчитать магнитное поле в любой точке. На рис. 47 показано сечение витка плоскостью, в которой лежит его ось. Желтые кружки обозначают сечение проводника с током, крестик и точка указывают направление тока в нем. Магнитное поле изображено силовыми линиями, стрелками указано их направление. Обратите внимание, что силовые линии магнитного поля всегда замкнуты. Силовая линия, совпадающая с осью витка, замыкается на бесконечности, остальные за пределами границ рисунка.
3. Поле прямолинейного тока (рис. 48). Вектор 
перпендикулярен плоскости прямоугольного треугольника, гипотенуза которого равна r,и катет 
b=rsinj противолежит углу j. направлен по касательной к окружности радиуса b с центром на проводнике с током. Его величина 
. Найдем магнитное поле, которое в указанной на рисунке точке создает отрезок проводника, заданный углами j1 и j2. Выразим dl и r через j. При перемещении по проводнику на dl получается новый треугольник (его гипотенуза нарисована красной линией), угол увеличится на dj. Новое положение гипотенузы получается поворотом отрезка r на такой центральный угол. Учитывая малость dj, получаем, что проекция на проводник дуги окружности r dj равна dl= rdj/sinj. Заметим, что все элементы прямолинейного тока создают в этой точке одинаково направленные векторы магнитной индукции, так что
(9.2.5)
Для бесконечно длинного проводника j1=0, j2=p, так что
(9.2.6)
Заметим, что силовые линии магнитного поля прямолинейного тока являются концентрическими окружностями, их плоскости перпендикулярны проводнику с током, а центры лежат на проводнике. На рис. 49 показан отрезок бесконечно длинного прямолинейного проводника с током, лежащего в плоскости рисунка. Его силовые линии – концентрические окружности – в плоскости рисунка изображены овалами. Правые половинки овалов соответствуют частям окружностей перед плоскостью рисунка, левые - за плоскостью рисунка. Направление силовых линий связано с направлением тока в проводнике правилом правого винта. Густота силовых линий уменьшается при удалении от проводника
9.3. Вихревой характер магнитного поля.
1. Математически поле векторов характеризует поток через поверхность и циркуляция вектора по контуру. Электростатическое поле создается неподвижными электрическими зарядами и является потенциальным. Математически это выражается формулами (7.3.1) и (7.4.9). Первая из них – теорема Гаусса - констатирует, что положительные заряды служат «истоками» силовых линий, отрицательные – их «стоками», так что поток через замкнутую поверхность определяют заряды, находящиеся внутри нее. Вторая формула констатирует, что циркуляция вектора напряженности электростатического поля по контуру равна нулю, так как кулоновские силы консервативные, и их работа на замкнутом пути равна нулю.
Магнитный поток имеет смысл, аналогичный потоку вектора напряженности электростатического поля. Графически он изображается силовыми линиями, пересекающими поверхность, и пропорционален (при определенных условиях изображения равен) их числу. Магнитный поток обозначают Ф, в СИ измеряют в веберах (Вб): 1Вб=1Тл.1м2. По определению магнитный поток через поверхность
(9.3.1)
Силовые линии магнитного поля всегда замкнуты. Это значит, что поток вектора магнитной индукции через любую замкнутую поверхность равен нулю:
(9.3.2)
Рассмотрим циркуляцию вектора магнитной индукции на примере поля прямолинейного тока (рис. 50). Проводник с током перпендикулярен плоскости рисунка, он изображен маленьким кружком с крестиком в центре, показывающем направление тока. На рис 50-а) контур совпадает с силовой линией – окружностью радиуса r (штриховая линия). Векторы перемещения и магнитной индукции сонаправлены, так что Bl=B=
и 
. Деформируем контур так, что он по-прежнему охватывает проводник с током, но не совпадает с силовой линией (рис.50-б). При перемещении по контуру на dl радиус r силовой линии поворачивается на малый центральный угол dj, так что dlcosa=rdj, соответственно, Bldl=Вdlcosa=Brdj=m0Idj /(2p). При обходе по замкнутому контуру этот центральный угол равен 2p, так что полученный нами ранее результат сохранится. Самостоятельно рассмотрите контур, который не охватывает проводник с током. Нарисуйте его и убедитесь, что при обходе такого контура суммарное изменение центрального угла равно нулю: поворот r вокруг проводника по часовой стрелке на некоторый угол при движении по одной половине контура сменяется на поворот на точно такой же угол против часовой стрелки при движении по другой половине контура. Если поле создают несколько проводников с током, то, согласно принципу суперпозиции, 
, и циркуляция по контуру определяется алгебраической суммой токов, охватываемых контуром. Эта формула называется теоремой о циркуляции вектора магнитной индукции[34]:
(9.3.3)
Полученный вывод справедлив для замкнутого контура произвольной формы.
Свойства магнитного поля отличаются от свойств электростатического поля, что математически выражается формулами (9.3.2) и (9.3.3). Магнитное поле называется вихревым: в природе нет «источников» и «стоков» магнитного поля, подобных зарядам, создающим электростатическое поле. Постоянные магниты имеют северный и южный полюса, которые невозможно отделить друг от друга. Разделив постоянный магнит на две части, опять получим оба полюса у каждой части.
2. Применим формулу (9.3.3) для расчета поля соленоида. Соленоид представляет собой цилиндрическую проволочную катушку, состоящую из одинаковых круговых витков, последовательно соединенных друг с другом. Их центры лежат на одной прямой – оси соленоида, перпендикулярной плоскости витков. Теоретически соленоид – бесконечно длинная катушка. Нарисуйте ее часть, вспомните, какой вид имеет поле кругового тока (рис. 47), и, пользуясь принципом суперпозиции, убедитесь, что вектор магнитного поля соленоида в любой точке параллелен его оси, так как витки симметрично расположены относительно этой точки. В качестве замкнутого контура рассмотрите прямоугольник, две стороны которого параллельны, а две другие перпендикулярны оси соленоида. Тогда Bl=0 на сторонах, перпендикулярных оси (там a=900). Пусть дальняя от оси соленоида параллельная ей сторона контура находится бесконечно далеко от соленоида, где магнитная индукция равна нулю. Ближняя к оси сторона прямоугольника находится внутри соленоида, вдоль нее Bl=В, так что 
, где l – длина параллельной оси стороны контура. Суммарный ток, охватываемый контуром, течет по виткам, нанизанным на эту сторону контура. Их число равно N, так что SI=NI. Если ближняя к оси соленоида сторона контура находится снаружи соленоида, то контур не охватывает токи, и SI=0. В результате получаем, что магнитное поле существует только внутри соленоида и равно:
(9.3.4)
Здесь n=N/l – число витков на единицу длины соленоида. Соленоид – источник однородного магнитного поля, полностью заключенного внутри его объема. Разумеется, на практике не бывает бесконечно длинных соленоидов. Ток, текущий по реальному соленоиду, создает магнитное поле как внутри, так и снаружи его. Формула (8.3.3) тем точнее оценивает магнитную индукцию в центральной части реального соленоида, чем меньше отношение диаметра витка к длине соленоида[35].
3. Тороид представляет собой провод, навитый на каркас, имеющий форму тора (бублика). Для тороида, радиус которого значительно превосходит радиус витка, магнитное поле практически сосредоточено внутри его объема. Заметим, что силовые линии имеют вид концентрических окружностей постоянной густоты, центры которых совпадают с центром тороида. Направление вектора магнитной индукции в разных сечениях тороида различно, а величина его везде одинакова и соответствует формуле (9.3.3). Говорить об однородности поля в пределах всего объема тороида можно только условно, имея в виду одинаковую величину векторов магнитной индукции. Разумеется, что полнородности поля в пределах всего объема тороида можно только условно, имея в виду одинаковую величину векторов магнитной индукции. Разумеется, что поле реального тороида из-за наличия составляющей тока вдоль оси несколько отличается от рассмотренного нами теоретически.
§ 9.4. Действие магнитного поля на токи и движущиеся электрические заряды
1.Закон Ампера выражает тот опытный факт, что на проводник с током в магнитном поле действует сила, направленная перпендикулярно проводнику. Эта сила имеет наибольшую величину, когда ток течет поперек силовых линий, и равна нулю, когда ток течет параллельно силовой линии. Формула закона Ампера есть векторное произведение элемента тока и магнитной индукции
(9.4.1)
Величина силы Ампера, действующей на элемент тока,
dF=IBdlsinα (9.4.2)
Здесь α – угол между направлением тока и вектором магнитной индукции. На прямолинейный проводник длиной l c током I в однородном магнитном поле действует сила Ампера
F=IBlsinα (9.4.3)
Напомним, что ее направление подчиняется мнемоническому правилу левой руки: силовые линии входят в раскрытую ладонь, четыре сомкнутых пальца направлены по току, большой палец, отогнутый перпендикулярно остальным в плоскости ладони, указывает направление силы Ампера.