Ядро и образ линейного оператора

Изменение координат вектора и матрицы оператора при переходе к новому базису

Пусть линейный оператор , действует из пространства в себя и пусть в линейном пространстве выбраны два базиса: и Разложим “новые” базисные вектора в линейные комбинации “старых” базисных векторов :

 

Стоящая здесь матрица м столбцом которой является координатный столбец го базисного вектора в “старом” базисе называется матрицей перехода от “старого”базиса к “новому“. Если теперь координаты вектора в “старом” базисе а координаты того же вектора в “новом” базисе то имеет место равенство

 

Так как разложение по базису единственно, то отсюда следует, что

 

Получен следующий результат.

Теорема 1.Координаты вектора в базисе и координаты того же вектора в базисе связаны соотношениями (2), где матрица перехода от “старого”базиса к “новому“ .

Посмотрим теперь, как связаны между собой матрицы и одного и того же оператора в различных базисах и пространства Матрицы и определяются равенствами Пусть Это равенство в базисе равносильно матричному равенству

а в базисе матричному равенству ( здесь приняты те же обозначения, что и в (1)). Используя теорему (1), будем иметь

 

так как столбец произвольный, то отсюда получаем равенство

 

Доказан следующий результат.

Теорема 2.Если матрица оператора в базисе а матрица того же оператора в базисе то

Замечание 1.Две произвольные матрицы и связанные соотношением где некоторая невырожденная матрица называются подобными матрицами. Таким образом, две матрицы одного и того же оператора в различных базисах подобны.

Пример 1.Матрица оператора в базисе имеет вид

 

Найти матрицу этого оператора в базисе Вычислить координаты вектора в базисе

Решение. Матрица перехода от старого базиса к новому и обратная к ней матрица имеют вид

 

поэтому по теореме 2 матрица оператора и новом базисе будет такой:

 

Далее, вектор имеет следующий координатный столбец в базисе По теореме 1 координатный столбец этого вектора в базисе будет иметь вид

 

Замечание 2. Можно обобщить этот результат на операторы, действующие из одного линейного пространства в другое. Пусть оператор действует из линейного пространства в другое линейное пространство и пусть в пространстве выбраны два базиса: и а в пространстве – два базиса и Тогда можно составить две матрицы и линейного оператора

 

и две матрицы и перехода от “старых” базисов к “новым”:

 

Нетрудно показать, что в этом случае имеет место равенство

 

Пусть дан линейный оператор действующий из линейного пространства в линейное пространство Следующие понятия бывают полезными при решении линейных уравнений.

Определение 1. Ядром оператора называется множество

Образом оператора называется множество

Нетрудно доказать следующее утверждение.

Теорема 3.Ядро и образ линейного оператора являются линейными подпространствами пространств и соответственно, причем имеет место равенство

Для вычисления ядра оператора надо записать уравнение в матричной форме (выбрав базисы в пространствах и соответственно) и решить соответствующую алгебраическую систему уравнений. Поясним теперь, как можно вычислить образ оператора .

Пусть матрица оператора в в базисах и Обозначим через -й столбец матрицы Принадлежность вектора образу означает, что существуют числа такие, что вектор столбец представляется в виде т.е. является элементом пространства линейных комбинаций столбцов матрицы Выбрав в этом пространстве базис (например, максимальную совокупность линейно независимых столбцов матрицы ), вычислим сначала образ оператора-матрицы : а затем построим образ оператора :

Приведем пример вычисления ядра и образа оператора, действующего из пространства в себя. В этом случае базисы и совпадают.

Пример 2.Найти матрицу, ядро и образ оператора проектирования на плоскость ( трехмерное пространство геометрических векторов).

Решение.Выберем в пространстве какой-нибудь базис (например, стандартный базис ). В этом базисе матрица оператора проектирования находится из равенства Найдем образы базисных векторов. Так как плоскость проходит через ось то

Далее (см. Р10) И аналогично

Таким образом,

 

Значит, матрица оператора имеет вид

 

Ядро оператора-матрицы вычисляем из уравнения

 

Таким образом,

 

( произвольная постоянная).

Образ оператора-матрицы натянут на все линейно независимые столбцы матрицы т.е.

 

поэтому

 

( произвольные постоянные).