Основные законы и следствия Булевой алгебры

Логические основы цифровой техники

Для описания логических операций используется математический аппарат, получивший название алгебры логики, или Булевой алгебры.

В алгебре логики рассматриваются переменные, которые могут принимать только два значения: 1 и 0.

Основные логические функции:

1. Логическое отрицание НЕ (инверсия). Обозначается в виде черточки над аргументом: . В качестве примера цепи, реализующей функцию НЕ, можно привести размыкающий контакт реле. При срабатывании реле цепь, в которую входит такой контакт, будет размыкаться.

2. Логическое умножение И (конъюнкция). Символически обозначается: или

В качестве примера электрической цепи, реализующей функцию И, можно привести соединение последовательно замыкающих контактов нескольких реле. Цепь в этом случае будет замкнута тогда и только тогда, когда сработают все реле.

3. Логическое сложение ИЛИ (дизъюнкция). Операция обозначается выражениями: либо

В качестве примера электрической цепи, реализующей функцию ИЛИ, можно привести параллельное соединение замыкающих контактов нескольких реле. Цепь, в которую входят эти контакты, будет замкнута, если сработает хотя бы один контакт.

Основные законы алгебры логики:

1. переместительный:

, ;

2. сочетательный:

, ;

3. распределительный:

, ;

4. закон поглощения:

, ;

5. закон склеивания:

, ;

6. закон отрицания или правило де Моргана:

, .

Правило де Моргана справедливо для любого числа переменных:

 

 

Для алгебра логики справедливы следующие соотношения:

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) ;

6) .

 

9.2. Минимизация логических функций с помощью алгебраических преобразований

 

Минимизация логических функций применяется при синтезе комбинационных логических цепей (КЛЦ). КЛЦ - это такие цепи, выходные сигналы которых не зависят от предыстории и однозначно определяются сигналами, поступающими на их входы в рассматриваемый момент времени.

Синтез КЛЦ проводят в следующей последовательности:

1) Составляется таблица истинности. Эта таблица показывает, чему равен выходной сигнал цепи при различных комбинациях входных сигналов.

2) Исходя из таблицы истинности, записывается логическая функция.

3) Логическая функция минимизируется и преобразуется к удобному виду для реализации на логических ячейках заданного типа.

Рассмотрим работу мажоритарной ячейки на 3 входа. Строим таблицу истинности:

 

Таблица 5

Таблица истинности

№	X1	Х2	Х3	F

 

 

 

 

 

 

Построим схему по полученному выражению:

 

 

Рис. 6. Реализация мажоритарной ячейки на 3 входа по минимизированному выражению

 

10. Основные параметры цифровых схем

 

Основными параметрами цифровых интегральных схем является быстродействие, потребляемая мощность, коэффициент объединения по входу, коэффициент разветвления по выходу, устойчивость против внешних воздействий, помехоустойчивость, степень интеграции, надежность, пороговое напряжение.

 

11. Элемент И-НЕ в ДТЛ

 

Цифровые схемы могут быть построены по-разному, но в их основе, как правило, лежат схемы, выполняющие функции И-НЕ либо ИЛИ-НЕ. Поэтому интегральные схемы содержат обычно схемы И либо ИЛИ, выполненные на резисторах, диодах или транзисторах, и транзисторные инверторы. Транзисторный инвертор может быть простейшим - на одном транзисторе, включённом по схеме с общим эмиттером, или сложным - многотранзисторным с каскадным включением транзисторов в выходном каскаде.

Разберём работу схемы И-НЕ с ДТЛ, работающую от положительных сигналов (рисунок 7). Схема состоит из двух частей. В первой входные переменные подаются на диодный элемент И. Вторая часть выполнена на транзисторе и представляет собой инвертор. Таким образом в схеме последовательно выполняется логическая операция И-НЕ. Диоды VD3, VD4 называются смещающими диодами и предназначены для надёжного закрывания транзистора.

ДТЛ-элементы обладают большим быстродействием, большим коэффициентом объединения по входу, высокой помехозащищённостью и широко используются в системах цифровой техники. Отсутствие конденсаторов и высокоомных резисторов делает их удобными для микроэлектронного исполнения. Однако, ТТЛ-элементы получили в настоящее время большее распространение. В первую очередь это связано с тем, серьёзным недостатком ДТЛ является большое количество диодов, каждый из которых необходимо тщательно изолировать, что увеличивает площадь микросхемы.

 

Рис. 7. Элемент И-НЕ в ДТЛ