D - разбиение по двум параметрам.

Рис. 5.26

 

 

Пример 5.15.

Дано характеристическое уравнение вида

.

Требуется найти интервал значений параметра λ, при которых САР будет устойчивой .

 

Записав

и положив p = jω , получаем комплексный параметр λ в виде

.

Выделяем действительную и мнимую части:

, .

Задаем ω и рассчитываем U и V для построения кривой V (U):

 

 

ω	U	V
	∞	-∞
2,36		-6,7
3,16
	3,1	1,9
		2,4
5,45	1,68	2,44
	1,4	2,4
	0,5	1,8
∞

 

 

Построив кривую для положительных w, дополняем ее зеркально отображенной (для отрицательных ω). Результат показан на рис . 5.27 .

 

 

V

3

2 w = - 0

 

2 U

w = - ∞

-2 w = + 0

-3

 

Рис.5.27.

 

Вывод: САР устойчива при значениях λ, принадлежащих интервалу

0 < l < 5. Границе устойчивости отвечают λ = 0 и λ = 5 .

Контрольная проверка по критерию Гурвица: все коэффициенты характеристического уравнения больше нуля, определитель a₁a₂ - a₀a₃ > 0 .

 

 

 

В основе лежит допущение, что в характеристическом уравнении можно выделить два параметра, М и N, которые могут изменяться, а остальные параметры заданы. Параметром может быть коэффициент или комбинация коэффициентов.

Если параметры М и N входят в характеристическое уравнение линейно, то характеристическое уравнение может быть представлено в виде

 

MQ(p) + NR(p) + H(p)=0 , (5.7)

где Q, R, H – некоторые полиномы.

Выделение областей устойчивости в плоскости параметров N и М достигается следующей процедурой.

Подставляем в характеристическое уравнение p = jω. Полиномы Q, R, H распадаются на вещественные и мнимые части:

Q (jω) = Q₁(ω) + jQ₂(ω),

R (jω) = R₁(ω) + jR₂(ω),

H (jω) = H₁(ω) + jH₂(ω).

Теперь их надо ввести в характеристическое уравнение (5.7) и выделить действительные и мнимые слагаемые:

[Q₁(ω) М + R₁(ω) N + H₁(ω)] + j[Q₂(ω) M + R₂(ω) N + H₂(ω)] = 0.

Если комплексное выражение равно нулю, значит его действительное и мнимое слагаемые по отдельности равны нулю:

Q₁(ω) M + R₁(ω) N + H₁(ω) = 0,

Q₂(ω) M + R₂(ω) N + H₂(ω) = 0.

Получается два линейных уравнения для определения параметров M и N :

Q₁(ω) M + R₁(ω) N = -H₁(ω),

Q₂(ω) M + R₂(ω) N = -H₂(ω) . (5.8)

 

Величины Q₁ , Q₂ , R₁ , R₂ рассматриваются как коэффициенты, а М и N – как переменные.

Определитель системы

 

.

 

Определители параметра М и параметра N:

 

, .

Определитель D_М получается из определителя системы заменой элементов первого столбца свободными членами системы. Определитель D_N – заменой элементов второго столбца свободными членами системы.

 

Для конкретного значения w:

, .

На плоскости M, N это будет точка. Задавая ω от нуля до бесконечности, в плоскости M, N можно построить кривую, которая и есть граница D - разбиения. Система уравнений (5.8) имеет решение, если Δ ≠ 0 и Δ_M ¹ 0, Δ_N ≠ 0 ; и не имеет решения, если Δ = 0 (точка с координатами (M, N) уходит в бесконечность) . В случае Δ = 0, Δ_M = 0, Δ_N = 0, значения M и N становятся неопределенными. Уравнения (5.8) становятся зависимыми и определяют собой не точку, а прямую в плоскости M, N . Такая прямая называется особой прямой. В большинстве случаев особые прямые получаются для ω = 0 и ω = ∞.

Область устойчивости выделяется штриховкой. Правило штриховки следующее.

Если определитель Δ > 0, то двигаясь по D - кривой от ω = -∞ до ω = +∞, штрихуют левую сторону. Если Δ < 0 , то штрихуют правую сторону (знак определителя меняется, если + ω заменить на -ω).