Элементы финансовой математики

В теории и практике оценки недвижимости финансовая математика используется в основном для расчетов по доходному подходу. Главный принцип - принцип ожиданий, в соответствии с которым оценочная стоимость - это текущая (настоящая) стоимость (PV-present value) всех будущих выгод (доходов) от собственности, а также возможной ее продажи в конце периода функционирования. Это связано с тем, что оценщик оперирует денежными потоками в различные периоды времени (рис. 16).

Цена приобретения

Оцененная стоимость (PV)

Рис. 16. Оперирование денежными потоками

В практике наблюдается огромное разнообразие значений ставок дохода, времени получения дохода, для этого расчеты с использованием сложных процентов и дисконтирования (приведение всех равномерных потоков денежных средств к одному моменту времени) были формализованы.

Аккумулирование –процесс приведения текущей стоимости денег к их будущей стоимости при условии, что эта сумма удерживается на счету в течение определенного времени, принося периодически накапливаемый процент.

Дисконтирование –процесс приведения денежных поступлений от инвестиций к их текущей стоимости.

Понятия аккумулирования и дисконтирования базируются на определении сложного процента.

Сложный процент - это экономическая категория, используемая для сопоставления одной и той же суммы денег в различные периоды времени с учетом того, что в каждом периоде доход приносит не только первоначальная сумма вклада, но и процент от нее.

При начислении процентов 1 раз в год формула (1) выглядит следующим образом:

S_n = S_o • (1 + i)ⁿ,(1)

где S_n – сумма, накопленная через n-периодов;

S_o – первоначальная сумма;

i - ставка дохода;

n - количество периодов накопления.

При начислении процентов чаще, чем 1 раз в год формула (2) выглядит следующим образом:

S_n = S_o (1 + i/p)ⁿ^•^p,(2)

где S_n – сумма, накопленная через n-периодов;

S_o – первоначальная сумма;

i - ставка дохода;

n - количество периодов накопления.

p – количество периодов в году.

Ставка дохода на инвестиции –процентное соотношение между чистым доходом и вложенным капиталом.

В результате были установлены закономерности, получившие название 6 функций денежной единицы, представляющие собой специальные таблицы. Таблицы построены для определенного значения ставки процента. По вертикали расписаны возможные прогнозируемые сроки владения недвижимостью. По горизонтали – функции денежной единицы. В графах таблицы на пересечении строки и столбца расположены предварительно рассчитанные значения факторов сложных процентов.

В табл. 1 представлены шесть функций денежной единицы.

Таблица 1

Сводная таблица 6 функций

F	Исходные данные	Требуется определить
F1 F2 F3 F4 F5 F6	Текущая стоимость Серия равных платежей Будущая стоимость Будущая стоимость Серия равных платежей Текущая стоимость	Будущая стоимость Будущая стоимость Серия равных платежей Текущая стоимость Текущая стоимость Серия равных поступлений

Перечислим эти шесть функций и их обозначения в экономических формулах. Обозначения в экономических формулах представлены в табл. 2.

Таблица 2

Основные обозначения

Денежные понятия	Условия кредита
PV	текущая стоимость (present value)	N n	число лет число периодов
FV	будущая стоимость (future value)	I/y i	(номинальная годовая ставка процента (interest per year) ставка процента за период
PMT	платёж (payment), взнос, выплата	P/y	количество платежей в году (payments per year)

Первая функция (F1) –накопленная сумма единицы.

F1 - аккумулированная сумма единицы – показывает какой по истечении времени будет стоимость единицы денежных средств, вложенных в доходную недвижимость:

FV = PV • (1 + i)ⁿ.(3)

Определение будущей стоимости при известной текущей показана на рис. 17.

V
		FV


	PV

			n

Рис. 17. (F1) –накопленная сумма единицы

return false">ссылка скрыта

Иногда при расчетах приходится сталкиваться с задачей определения количества периодов начисления, по истечении которых первоначально депонированная сумма увеличивается вдвое. Очень просто решить эту задачу позволяет правило 72 – х [3, с. 169].

Количество периодов, необходимых для удвоения первоначальной суммы вычисляются по формуле:

n = . (4)

Правило 72: удвоение вложенной суммы происходит через число лет, определяемое как частное от деления числа 72 на годовую номинальную ставку процента.

Правило 72 применимо в диапазоне от 3 до 18 % годовых.

Вторая функция (F2) – накопление единицы за период.

F2 – показывает, какой по истечении определенного срока будет стоимость серии периодических доходов в размере 1 денежной единицы, получаемых в конце каждого периода.

Если платежи происходят через строго определенные промежутки времени, то такая серия называется аннуитетом. Аннуитет -серия равномерных равновеликих платежей.

Аннуитеты разделяются на:

- равномерные –аннуитеты, состоящие из серии равновеликих платежей;

- неравномерные – аннуитеты, при которых величина платежей может быть разной в различных платежных периодах.

Базовая формула при платежах в конце периода и определение будущей стоимости обычного аннуитета представлены ниже.

FV = PMT • . (5)

PMT

Рис. 18. (F2) – накопление единицы за период

Третья финансовая функция (F3) – фактор фонд возмещения капитала.

F3 –показывает, какими должны быть периодические доходы, получаемые в конце каждого периода в течение определенного срока владения объектом, с тем, чтобы к его окончанию была накоплена сумма в размере 1 денежной единицы.

Взнос на возмещение капитала - величина платежа, который необходимо депонировать (вкладывать) в каждом периоде при заданной ставке годового процента, чтобы в последнем периоде получить требуемую сумму капитала. Взнос на возмещение капитала подразделяется на:

- обычный- когда аннуитет возникает в конце периода;

- авансовый – когда первый платеж происходит одновременно с начальным поступлением, а последующие аннуитеты будут возникать через равные интервалы.

Если по условиям кредита необходимо вносить каждый месяц какой-либо оговоренный взнос, а в конце n-гогода погасить всю оставшуюся сумму, то величина этой суммы называется шаровой платеж.

Если величина взноса равна проценту в денежном выражении, то величина шарового платежа равна сумме кредита.

PMT = FV • .(6)

Определение платежа для накопления заданной суммы в будущем представлено на рис. 19.

PMT

Рис. 19. (F3) – фактор фонд возмещения капитала

Четвертая финансовая функция (F4) - текущая стоимость реверсии.

F4– показывает текущую стоимость единицы денежных средств, получаемых в результате перепродажи недвижимости через определенный период времени.

Базовая формула при начислении процентов 1 раз в год:

PV = FV • ,(7)

Определение текущей стоимости при известной будущей стоимости представлено на рис. 20.

V
		FV


	PV

			n

Рис. 20. (F4) – текущая стоимость реверсии

Пятая финансовая функция (F5)- текущая стоимость аннуитета.

F5 – показывает текущую стоимость доходной недвижимости, приносящей периодический доход в виде серии платежей в конце каждого периода в размере 1 денежной единицы.

Базовая формула при платежах в конце года:

PV = PMT • .(8)

Текущая стоимость обычного аннуитета представлена на рис. 21.

PMT

Рис. 21. (F5)- текущая стоимость аннуитета

Шестая финансовая функция (F6) - взнос на амортизацию капитала.

Амортизация кредита –погашение долга по кредиту в течение определенного периода времени.

F6– показывает, какими должны быть периодические доходы в конце каждого периода в размере 1 денежной единицы текущей стоимости недвижимости в течение определенного срока владения объектом.

Базовая формула при платежах в конце года:

PMT = PV • .(9)

Определение платежей в счет погашения кредита на рис. 22.

PMT

Рис. 22. (F6) - взнос на амортизацию капитала