Точки разрыва функции

Определение. Точкой разрыва функции называется внутренняя точка области задания функции, в которой нарушается непрерывность функции.

Если в точке разрыва функция, к тому же, не существует, ее часто называют особой точкой. Так функция существует на всей числовой оси, кроме точки . Эта точка – особая, и в ней функция терпит разрыв.

Разрыв может быть конечным, если и принимают конечные, но не равные значения. Разность между этими значениями называют скачком функции в точке разрыва.

Пример. Функция . Очевидно, ,

.

Разрыв бесконечный, если левый, правый или оба предела бесконечны.

Пример. . Имеем , .

Разрыв называется устранимым, если и эти пределы конечны, но функция в точке не задана.

Пример. Функция не может быть задана при (деление на ноль), однако и левый и правый ее пределы равны 1, что следует из первого замечательного предела.

Устранить этот недостаток можно введением другой функции . Эта функция совпадает с заданной во всех точках, кроме 0, но она существует и непрерывна на всей числовой оси, что следует из свойств непрерывной функции.