Базовые алгоритмические структуры
Пример записи алгоритма на школьном языке АЯ.
алг Сумма квадратов (арг цел n, рез цел S)дано | n > 0надо | S = 1*1 + 2*2 + 3*3 + ... + n*nнач цел i ввод n; S :=0 нцдля i от 1 до n S :=S+i*i кц вывод "S = ", SконАлгоритмы можно представлять как некоторые структуры, состоящие из отдельных базовых (т.е. основных) элементов. Естественно, что при таком подходе к алгоритмам изучение основных принципов их конструирования должно начинаться с изучения этих базовых элементов. Для их описания будем использовать язык схем алгоритмов и школьный алгоритмический язык АЯ.
| Логическая структура любого алгоритма может быть представлена комбинацией трех базовых структур: следование, ветвление, цикл. |
Характерной особенностью базовых структур является наличие в них одного входа и одного выхода.
1. Базовая структура следование. Образуется из последовательности действий, следующих поочередно одно за другим, например:
| действие 1 действие 2 . . . . . . . . . действие n |
2. Базовая структура ветвление. Обеспечивает в зависимости от результата проверки условия (да или нет) выбор одного из альтернативных путей работы алгоритма. Каждый из путей ведет к общему выходу, так что работа алгоритма будет продолжаться независимо от того, какой путь будет выбран.
Структура ветвление существует в четырех основных вариантах:
· если ... то … ;
· если … то … иначе … ;
· выбор …;
· выбор … иначе … .
| Школьный алгоритмический язык | ||
| 1. если то | ||
| если условие то действия все | ||
| 2. если -то- иначе | ||
| если условие то действия 1иначе действия 2 все | ||
| 3. выбор | ||
| выбор при условие 1: действия 1 при условие 2: действия 2 . . . . . . . . . . . . при условие N: действияN все | ||
| 4. выбор -иначе | ||
| выбор при условие 1: действия 1 приусловие 2: действия 2 . . . . . . . . . . . . при условие N: действияN иначе действия N+1 все | ||
Примеры команды если
| Школьный алгоритмический язык |
| если x > 0 то y := sin(x) все |
| если a > b то a := 2*a; b := 1 иначе b := 2*bвсе |
| выбор при n = 1: y := sin(x) при n = 2: y := cos(x) приn = 3: y := 0все |
| выбор при a > 5: i := i+1 при a = 0: j := j+1 иначе i := 10; j:=0все |
3. Базовая структура цикл. Обеспечивает многократное выполнение некоторой совокупности действий, которая называется телом цикла. Основные разновидности циклов представлены в таблице:
| Школьный алгоритмический язык | |
| Команда цикла типа пока. (цикл с предусловием) Предписывает выполнять тело цикла до тех пор, пока выполняется условие, записанное после слова пока перед телом цикла. | |
| нц покаусловие тело цикла (последовательность действий) кц | |
| Команда цикла типа для. (цикл со счетчиком) Предписывает выполнять тело цикла для всех значений некоторой переменной (параметра цикла) в заданном диапазоне. | |
| нц дляi от i1 до i2 тело цикла (последовательность действий)кц |
Примеры команд цикла пока и для
| Школьный алгоритмический язык | Результат выполнения |
| I :=1 нц пока i <= 5 S := S+A[i] i := i+1 кц | S=A[1]+A[2]+A[3]+A[4]+A[5] |
| нц для i от 1 до 5 X[i] := i*i*i Y[i] := X[i]/2 кц | X[1]=1;X[2]=8;X[3]=27;x[4]=64;X[5]=125; Y[1]=0.5;Y[2]=4;Y[3]=13.5;Y[4]=32;Y[5]=62.5; |
4. Какие циклы называют итерационными?
| Особенностью итерационного цикла является то, что число повторений действий в теле цикла заранее неизвестно. Для его организации используется только цикл типа пока. Выход из итерационного цикла осуществляется в случае выполнения заданного условия. |
На каждом шаге вычислений происходит последовательное приближение результата и проверка условия достижения искомого приближения результата.
Пример. Составить алгоритм вычисления суммы ряда:
с заданной точностью Eps (для данного знакочередующегося степенного ряда требуемая точность будет достигнута, когда очередное слагаемое станет по абсолютной величине меньше Eps).
Вычисление сумм — типичная циклическая задача. Особенностью же нашей конкретной задачи является то, что число слагаемых(а, следовательно, и число повторений тела цикла) заранее неизвестно. Поэтому выполнение цикла должно завершиться в момент достижения требуемой точности.
При составлении алгоритма нужно учесть, что знаки слагаемых чередуются и степень числа х в числителях слагаемых возрастает.
Решая эту задачу "в лоб" путем вычисления на каждом i-ом шаге частичной суммы
S:=S+(-1)**(i-1)*x**i/i ,
мы получим очень неэффективный алгоритм, требующий выполнения большого числа операций. Гораздо лучше организовать вычисления следующим образом: если обозначить числитель какого-либо слагаемого буквой р, то у следующего слагаемого числитель будет равен -р*х (знак минус обеспечивает чередование знаков слагаемых), а само слагаемое m будет равно p/i, где i – порядковый номер слагаемого.
| Сравните эти два подхода по числу операций. Алгоритм на школьном АЯ |
| алг Сумма (арг вещ x, Eps, рез вещ S) дано | 0 < x < 1 надо | S = x - x**2/2 + x**3/3 - ... нач цел i, вещ m, p ввод x, Eps S:=0; i:=1 | начальные значения m:=1; p:= -1 нц пока abs(m) > Eps p:= - p*x | p - числитель | очередного слагаемого m:= p/i | m - очередное слагаемое ряда S:=S+m | S - частичная сумма i:=i+1 | i - номер | очередного слагаемого кц вывод S кон |
Алгоритм, в состав которого входит итерационный цикл, называется итеpационным алгоpитмом. Итерационные алгоритмы используются при реализации итерационных численных методов.
5. Что такое вложенные циклы?
Возможны случаи, когда внутри тела цикла необходимо повторять некоторую последовательность операторов, т. е. организовать внутренний цикл. Такая структура получила название цикла в цикле или вложенных циклов. Глубина вложения циклов (то есть количество вложенных друг в друга циклов) может быть различной.
При использовании такой структуры для экономии машинного времени необходимо выносить из внутреннего цикла во внешний цикл все операторы, которые не зависят от параметра внутреннего цикла.
Пример вложенных циклов вида для.
| Вычислить сумму элементов заданной матрицы А(5,3). Матрица А | нц для i от 1 до 5 нц для j от 1 до 3 S:=S+A[i,j] кц кц |
Пример вложенных циклов вида пока.
Вычислить произведение тех элементов заданной матрицы A(10,10), которые расположены на пересечении четных строк и четных столбцов.
| i:=2; P:=1нц пока i<= 10 j:=2нц пока j <= 10P:=P*A[i,j] j:=j+2 кц i:=i+2 кц |
6. Что такое стандартная функция?
При решении различных задач с помощью компьютера бывает необходимо вычислить логарифм или модуль числа, синус угла и т.д.