Представление в компьютере вещественных чисел.

Умножение и деление

Во многих компьютерах умножение производится как последовательность сложений и сдвигов. Для этого в АЛУ имеется регистр, называемый накапливающим сумматором, который до начала выполнения операции содержит число ноль. В процессе выполнения операции в нем поочередно размещаются множимое и результаты промежуточных сложений, а по завершении операции — окончательный результат.

Другой же регистр АЛУ, участвующий в выполнении операции умножения, вначале содержит множитель. Затем по мере выполнения сложений содержащееся в нем число уменьшается, пока не достигнет нулевого значения.

Деление для компьютера является еще более трудной операцией, чем умножение. Обычно деление реализуется путем многократного прибавления к делимому дополнительного кода делителя.

Вещественными числами (в отличие от целых) в компьютерной технике называются числа, имеющие дробную часть.

При их написании в программе вместо запятой принято писать точку. Так, например, число 5 — целое, а числа 5.1 и 5.0 — вещественные.

Для удобства отображения чисел, принимающих значения из достаточно широкого диапазона (то есть, как очень маленьких, так и очень больших), используется форма записи чисел с порядком основания системы счисления. Например, десятичное число 1.25 можно в этой форме представить так:

1.25= 1.25×10⁰ = 0.125×10¹ = 0.0125×10² = ... , или: 12.5×10^–1 = 125.0×10^–2 = 1250.0×10^–3.

Любое число N в системе счисления с основанием q можно записать в виде N = M × q p, где M называется мантиссой числа, а p — порядком числа. Такой способ записи чисел называется представлением числа с плавающей точкой.

 

Если “плавающая” точка расположена в мантиссе перед первой значащей цифрой, то при фиксированном количестве разрядов, отведённых под мантиссу, обеспечивается запись максимального количества значащих цифр числа, то есть максимальная точность представления числа в машине. Из этого следует вывод:

Мантисса должна быть правильной дробью, первая цифра которой после запятой отлична от нуля: M лежит в диапазоне [0.1, 1).

 

Такое, наиболее точное для компьютера, представление вещественных чисел называется нормализованным.

Мантиссу и порядок q- ичного числа принято записывать в системе с основанием q, а само основание обозначают в десятичной системе.

 

Примеры нормализованного представления чисел:

Десятичная система Двоичная система

753.15₁₀ = 0.75315×10³; –101.01₂ = –0.10101×2¹¹ (порядок 11₂ = 3₁₀)

–0.000034₁₀ = –0.34×10^-4; –0.000011₂ = 0.11×2^-100 (порядок –100₂ = – 4₁₀)

 

Вещественные числа в компьютерах различных типов записываются по-разному. При этом компьютер обычно предоставляет программисту возможность выбора из нескольких числовых форматов наиболее подходящего для конкретной задачи — с использованием четырех, шести, восьми или десяти байтов.

 

В качестве примера приведем характеристики форматов вещественных чисел, используемых IBM-совместимыми персональными компьютерами:

 

Форматы вещественных чисел	Размер в байтах	Диапазон абсолютных значений	Количество значащих десятичных цифр
Одинарный		10–45 … 1038	7 или 8
Вещественный		10–39 … 1038	11 или 12
Двойной		10–324 … 10308	15 или 16
Расширенный		10–4932 … 104932	19 или 20

 

Из этой таблицы видно, что форма представления чисел с плавающей точкой позволяет записывать числа с высокой точностью и из весьма широкого диапазона.

При хранении числа в компьютере с плавающей точкой отводятся отдельные разряды для мантиссы, порядка, знака числа и знака порядка: