Целые числа со знаком

Диапазоны значений целых чисел без знака

Представление в компьютере целых чисел.

Деление

Умножение

Операция вычитания является обратной по отношению к сложению.

Вычитание

Сложение

Арифметические операции в позиционных системах счисления.

 

Правила выполнения арифметических операций в десятичной системе— это сложение, вычитание, умножение столбиком и деление углом. Эти правила также применимы и ко всем другим позиционным системам счисления.

Для сложения используется следующее Правило Счета - при сложении цифры суммируются по разрядам, и если при этом возникает избыток, то переносится влево единица.

Пример 1. Сложим целые числа 15₁₀ и 6₁₀ в различных системах счисления.

17₈ (15₁₀) F₁₆ (15₁₀) 1111₂ (15₁₀)

+ 6₈ + 6₁₆ + 110₂

----- ------------ -----------

25₈ (13₁₀-8₁₀=5₈) 15₁₆ (21₁₀-16₁₀=5₁₆) 10101₂

 

Ответ: 15₁₀ + 6₁₀ = 21₁₀ = 10101₂ = 25₈ = F₁₆+6₁₆ = 15₁₆.

Проверка. Для контроля преобразуем полученные суммы к десятичному виду и получим в результате число 21₁₀:
10101₂ = 2⁴ + 2² + 2⁰ = 16+4+1 = 21₁₀,
25₈ = 2*8¹ + 5*8⁰ = 16 + 5 = 21₁₀,
15₁₆ = 1*16¹ + 5*16⁰ = 16+5 = 21₁₀.

Пример 2. Сложим в различных системах счисления вещественные числа 141,5₁₀ и 59,75₁₀.

 

Ответ: 141,5₁₀ + 59,75₁₀ = 201,25₁₀ = 11001001,01₂ = 311,2₈ = C9,4₁₆

8 0,25₁₀ *8= 0, (2),0 = 0,2₈

201 | 1

25 | 1

3 | 3

0 | 311₈ +0,2₈ = 311,2₈

Проверка. Для контроля преобразуем полученные суммы к десятичному виду:

11001001,01₂ = 2⁷ + 2⁶ + 2³ + 2⁰ + 2^-2 = 128+64+8+1+ 0,25= 201,25₁₀

311,2₈ = 3*8² + 1•8¹ + 1*8⁰ + 2*8^-1 = 192+8+1+0,25= 201,25₁₀

C9,4₁₆ = 12*16¹ + 9*16⁰ + 4*16^-1 = 192+9+0,25= 201,25₁₀

Пример 3.

Вычтем единицу из чисел в разных системах счисления: 10₂, 10₈ и 10₁₆ :

10₂ – 1₂ = 1₂ ; 10₈ - 1= 7₈ ; 10₁₆ - 1 = F₁₆ .

Пример 4. Вычтем число 59,75₁₀ из числа 201,25₁₀.

Ответ: 201,25₁₀ – 59,75₁₀ = 141,5₁₀ = 10001101,1₂ = 215,4₈ = 8D,8₁₆.

8 0,5₁₀* 8 = 0, (4)0 = 0,4₈

141 | 5

17 | 1

2 | 2

0 | 215₈ + 0,4₈ = 215,4₈

 

Проверка. Преобразуем полученные разности к десятичному виду:
10001101,1₂ = 2⁷ + 2³ + 2² + 2⁰ + 2^–1 = 128+8+4+1+0,5= 141,5₁₀;
215,4₈ = 2*8² + 1*8¹ + 5*8⁰ + 4*8^–1 = 128+8+5+0,5= 141,5₁₀;
8D,8₁₆ = 8*16¹ + D*16⁰ + 8*16^–1 = 128+13+0,5= 141,5₁₀.

Правило. Для умножения многозначных чисел в различных позиционных системах счисления можно использовать обычный алгоритм перемножения чисел в столбик ( как в десятичной системе счисления), но при этом перемножение и сложение чисел необходимо выполнять по правилам арифметики уже новой системы счисления.

Умножение столбиком в двоичной системе сводится к сдвигам множимого и сложениям по разрядам.

Пример 7. Перемножим числа 5₁₀ и 6₁₀.

Ответ: 5₁₀*6₁₀ = 30₁₀ = 11110₂ = 36₈.

2 или 101₂ (5₁₀)

30₁₀ | 0 *110₂ (6₁₀)

15 | 1 ------------

7 | 1 000₂

3 | 1 101

1 | 1 101

0 --------------

11110₂

Проверка. Преобразуем полученные произведения к десятичному виду:

 

11110₂ = 2⁴ + 2³ + 2² + 2¹ = 30₁₀

 

36₈ = 3•8¹ + 6•8⁰ = 30₁₀.

Правило. Деление в любой позиционной системе счисления производится по тем же правилам, как и деление уголком в десятичной системе.

Пример8. Разделим число 30₁₀ на число 6₁₀.

Ответ: 30₁₀ : 6₁₀ = 5₁₀ = 101₂ = 5₈.

Пример 9. Разделим число 35₁₀ на число 14₁₀, здесь 35₁₀ = 43₈ , 14₁₀= 16₈ .

35₁₀ : 14₁₀ = 2,5₁₀

В восьмеричной же системе: 43₈ : 16₈ = 2,4₈.

Действительно, в результате деления столбиком получаем:

43₈ |16₈ 16₈ 16₈

34₈ 2,4 * 2 * 4

_70₈ 34₈ (6*2=12₁₀ = 14₈) 70₈ (6*4 = 24₁₀ = 30₈)

70₈ (1*2+1=3) (1*4+3 = 7)

Ответ: 35₁₀ : 14₁₀ = 2,5₁₀ = 10,1₂ = 2,4₈.

Проверка. Для проверки преобразуем полученные частные к десятичному виду:
10,1₂ = 2¹ + 2 ^-1 = 2,5₁₀;
2,4₈ = 2*8⁰ + 4*8^-1 = 2,5₁₀.

Целые числа могут представляться в компьютере в двоичной системе счисления со знаком или без знака.

Целые числа без знака обычно занимают в памяти один или два байта и принимают в однобайтовом формате значения от 00000000₂ до 11111111₂ , а в двухбайтовом формате — от 00000000 00000000₂ до 11111111 11111111₂.

Формат числа в байтах	Диапазон
Запись с порядком	Обычная запись
	0 ... 28–1	0 ... 255
	0 ... 216–1	0 ... 65535

 

Примеры:

а) число в однобайтовом формате: 72₁₀ = 01001000₂

б) это же число в двубайтовом формате: 72₁₀ = 0000000001001000₂

в) число 65535 в двубайтовом формате: 65535₁₀ = 1111111111111111₂

Целые числа со знаком обычно занимают в памяти компьютера один, два или четыре байта, при этом самый левый (старший) разряд содержит информацию о знаке числа. Знак “плюс” кодируется нулем, а “минус” — единицей.