Комплексная частотная передаточная функция.
Частотные характеристики ДИНАМИЧЕСКИХ звеньев и систем автоматического управления.
В основу методов исследования и расчета систем автоматического управления положены частотные характеристики звеньев направленного действия. Частотные характеристики показывают, как изменяются амплитуда и фаза выходного гармонического сигнала звена направленного действия относительно входного в зависимости от частоты этого сигнала. Частотные характеристики могут рассматриваться не только для простейших звеньев, но и сложных функциональных элементов или САУ в целом.
Рассматривается передача линейным звеном направленного действия гармонического сигнала x(ωt) cамплитудой Аx, угловой частотой ω, начальной фазой θx:
.
На выходе звена в установившемся режиме гармонический сигнал y(ωt) имеет ту же частоту, но изменившиеся амплитуду Аy и фазу θy:
.
Изменения гармонического сигнала при передаче его звеном можно характеризовать отношением амплитуд 
и разностью фаз ψ = θу–θх.
Если угловую частоту гармонического сигнала изменять в широком диапазоне, можно получить зависимость относительного изменения амплитуды А(ω) и фазы ψ(ω) сигнала при передаче его звеном, функциональным элементом или системой. Такие зависимости называют амплитудно-частотными (АЧХ) и фазо-частотными (ФЧХ) характеристиками.
Гармонические сигналы x(ωt) и y(ωt) можно представить на комплексной плоскости в виде векторов 
, 
, вращающихся с угловой частотой ω. Модуль каждого вектора равен амплитуде соответствующего сигнала, а их положение на комплексной плоскости определяется начальными фазами. Векторы этих сигналов в комплексной форме имеют следующее выражение:
;
.
Комплексной частотной функцией (комплексным коэффициентом передачи) называют отношение векторавыходного гармонического сигнала к вектору входного сигнала :
.
Таким образом, комплексная частотная передаточная функция характеризует относительное изменение амплитуды А и фазы ψ гармонического сигнала при передаче его звеном или системой. На комплексной плоскости частотную передаточную функцию можно представить вектором 
:
.
Модуль вектора 
есть отношение амплитуд, а фаза вектора ψ = θy – θx – разность фаз входного и выходного гармонических сигналов.
При анализе частотных характеристик более удобной является алгебраическая форма записи комплексной частотной функции с выделением вещественной Re W(jw) и мнимой Im W(jw) частей:
.
При обратном преобразовании для определения модуля и фазы вектора комплексной частотной функции используют известные соотношения:
;
.