Понятие об устойчивости
Устойчивость линейных систем
Статические и астатические системы
Система, в структуре которой нет последовательно присоединенного интегрирующего звена, называется статической. Примером может служить последовательное соединение звеньев с передаточными функциями
Система, в структуре которой есть последовательно присоединенное интегрирующее звено, называется астатической.
В знаменателе появился множитель: комплексная переменная p. Последовательное присоединение еще одного интегрирующего звена даст множитель p2. Говорят, в первом случае система обладает астатизмом первой степени, во втором – второй степени. В общем случае – астатизмом степени n. Т.о. по тому, нет или есть в знаменателе передаточной функции множитель pn, системы делятся на два класса: статические и астатические.
В статической системе при постоянном входном воздействии выходная величина со временем становится постоянной, принимая значение, отличное от первоначального. В астатической системе при постоянном входном воздействии выходная величина непрерывно изменяется.
Система, которая после завершения переходного процесса приходит к состоянию установившегося равновесия, называется устойчивой.В устойчивой системе регулируемая величина со временем стремится к постоянному значению.
Система называется неустойчивой, если после устранения воздействия она удаляется от состояния равновесия или совершает около него недопустимо большие колебания. В неустойчивой системе регулируемая величина со временем возрастает.
Характер воздействия на систему и поведение управляемой величины описывается дифференциальным уравнением. Оно было записано для разомкнутой системы в главе 2:
(2.1)
Когда воздействие на систему прекращается, правая часть обращается в ноль и дальнейшее изменение управляемой величины описывается однородным дифференциальным уравнением
. (5.1)
Решение однородного уравнения показывает, возрастает или не возрастает со временем управляемая величина. Решение ищут, полагая y(t) = ept. Беря производные и подставляя в уравнение (5.1) находят характеристическое уравнение
(2.7)
решая которое, получают корни pi. Полное решение уравнения (5.1) слагается из экспонент:
(5.2)
где Сi – постоянные интегрирования.
Функция y(t) – описывает переходной процесс; он полностью определяется значением корней pi.
Корни характеристического уравнения могут быть действительными, комплексными, мнимыми. Если корни действительные и отрицательные, каждая экспонента со временем стремится к нулю, следовательно, y(t) ® 0. По окончании переходного процесса система приходит к состоянию установившегося равновесия.
Если корни действительные и положительные, все экспоненты со временем неограниченно возрастают, y(t) ® ∞. Процесс неустойчивый, система удаляется от состояния равновесия.
Если корни комплексно-сопряженные с отрицательной действительной частью, каждая экспонента со временем стремится к нулю, имея колебательную составляющую. И в этом случае y(t) ® 0. Система, следовательно, устойчивая.
В случае комплексно-сопряженных корней с положительной действительной частьюсистема неустойчивая.
При наличии чисто мнимых корней выходная величина совершает гармонические колебания. Мнимые корни соответствуют границе устойчивости.