Физический смысл дивергенции

Инвариантное определение дивергенции

 

Рассмотрим точку (рис. 3), окружим ее замкнутой поверхностью и вычислим поток поля через эту поверхность по формуле Остроградского

.

Применяя к тройному интегралу теорему о среднем, получим

или .

Здесь есть некоторая точка из области . В последнем равенстве перейдем к пределу, стягивая область в точку (при этом точка будет стремиться к точке ). Запишем результат предельного перехода:

Мы получили инвариантное (т.е. независящее от системы координат) определение дивергенции. Первоначальное определение дивергенции

было введено для прямоугольной системы координат.

 

 

Пусть векторное поле есть поле скоростей жидкости. Величина потока равна разности между количеством жидкости, вытекающей из области , и количеством жидкости, втекающей в эту область. Если , то из области жидкости вытекает больше, чем втекает. Это означает, что в области имеются источники, питающие поток жидкости. Величина определяет количество жидкости, возникающей в единицу времени в единице объема. Ее называют средней мощностью источников в области . Величину

называют мощностью источника в точке .

Если , то в область втекает жидкости больше, чем вытекает, т. е. в области имеются стоки со средней мощностью . Величина

есть мощность стока в точке . Итак,

1) если , то в точке имеется источникмощности ,

2) если , то в точке имеется сток мощности ,

3) если , то в точке отсутствуют и источник, и сток.