Вычисление потока методом проектирования на одну плоскость

Для вычисления потока воспользуемся формулой и параметрическим уравнением поверхности : . Вычислим нормальный вектор поверхности по формуле: ; тогда единичный нормальный вектор , определяющий ориентацию поверхности, есть вектор

, если , , если .

Элемент площади вычислим по формуле (13.1): .

Подставляя значения для и в интеграл , получим

.

Окончательно имеем:

Пример 4. Вычислить поток поля через поверхность , ориентированную внешней нормалью (рис. 6).

Решение. Запишем уравнение поверхности в параметрическом виде

параметры).

Найдем вектор

Вторая координата этого вектора отрицательна, как и у вектора , поэтому

и ;

.

Тогда .

Пример 5. Вычислить поток поля через верхнюю сторону части плоскости , расположенной в первом октанте (рис. 3).

Решение. Вычислим поток методом проектирования на одну плоскость. Для этого запишем уравнение поверхности в параметрическом виде параметры).

Найдем векторное произведение

Вторая координата этого вектора положительна, как и у вектора , поэтому

и .

Вычислим значение подынтегральной функции на поверхности :

.

Тогда . Этот интеграл был вычислен в примере 2: .

 

14. Лекционное занятие. ФОРМУЛА ОСТРОГРАДСКОГО. ДИВЕРГЕНЦИЯ ПОЛЯ

 

Поток векторного поля через замкнутую поверхность удобно вычислять по формуле Остроградского с помощью дивергенции поля :

где .

В этой формуле ─ тело, ограниченное замкнутой поверхностью ;поверхность ориентирована внешней нормалью; функции , , непрерывны вместе со своими частными производными.

Вывод формулы проведем для случая, когда поверхность состоит (рис. 1) из поверхности с уравнением и поверхности с уравнением .

Запишем формулу Остроградского в координатной форме

.

Покажем сначала, что . Действительно,

.

С другой стороны, .

На поверхности : ; , так как ;

на поверхности : ; , так как ;

поэтому

.

Получившееся выражение равно правой части формулы, значит

.

Аналогично можно показать, что

Складывая равенства, получим формулу Остроградского.

Пример 1. Вычислить поток поля через поверхность пирамиды, ограниченную плоскостью и координатными плоскостями.

Решение. Так как поверхность замкнутая, то воспользуемся формулой Остроградского

.

Пример 2 . Вычислить поток жидкости, текущей со скоростью , через боковую поверхность конуса в направлении внешней нормали (рис. 2).

Решение. Поток через боковую поверхность конуса удобно вычислить как разность потока через полную поверхность и потока через основание. Поток через полную поверхность вычислим по формуле Остроградского

о

.

Поток жидкости через основание конуса вычислим по формуле .

Учтем, что единичный вектор нормали к основанию конуса равен . Поэтому . На основании конуса , значит, и

Здесь ─ площадь основания, т. е. площадь круга радиусом 4. Следовательно,

.

Так как , то через боковую поверхность конуса в направлении внешней нормали течет жидкости меньше, чем в противоположном направлении.

Остановимся более подробно на свойствах дивергенции.