Вычисление потока

Рассмотрим несколько способов вычисления потока.

1). Вычисление потока по формуле .

При использовании этой формулы надо вычислить и например, для поверхности с уравнением .

Пример 1. Заряд помещен в начало координат и создает поле напряженностей . Вычислить поток этого поля через поверхность сферы радиусом с центром в начале координат и нормальным вектором, направленным от начала координат.

Решение. Так как единичный вектор нормали к сфере коллинеарен радиус-вектору , то . Тогда . На поверхности сферы , ; площадь поверхности сферы . Поэтому

.

Заметим, что величина потока не зависит от радиуса сферы.

Пример 2. Вычислить поток поля через верхнюю сторону части плоскости , расположенной в первом октанте (рис. 4).

Решение. Вычислим поток по формуле .

Нормальный вектор плоскости есть вектор ; единичный нормальный вектор . Его третья координата положительна, следовательно, он составляет с осью острый угол и определяет верхнюю сторону поверхности. Вычислим скалярное произведение на плоскости

.

Теперь вычислим элемент . Тогда получим

.

Проекция поверхности на плоскость есть треугольник в плоскости , ограниченный линиями . Поэтому