Векторное поле и векторные линии

Векторное поле – это область пространства, в каждой точке которой задан вектор .

Пример 1. Пусть на материальную точку в области действует сила . Тогда в области определено векторное поле .

Пример 2. Пусть в области происходит течение жидкости и в каждой точке задан вектор скорости частицы жидкости. Тогда в области определено векторное поле скоростей жидкости.

Пример 3. Поместим заряд в начало координат. Тогда сила, с которой этот заряд действует на единичный положительный заряд, помещенный в точку , определяется по закону Кулона:

,

где ─ вектор, идущий из начала координат в точку (радиус-вектор точки ), ─ его длина. Имеем векторное поле напряженностей , создаваемое зарядом .

Мы будем рассматривать только стационарные поля, для которых вектор поля зависит от точки и не зависит от времени. Проекции вектора на оси координат обозначим . Тогда:

.

Далее всюду предполагаем, что функции непрерывны вместе со своими частными производными; в противном случае точку поля назовем особой.

Одной из характеристик векторного поля являются векторные линии.

Векторной линией векторного поля называют линию, в каждой точке которой касательный вектор коллинеарен вектору поля (рис. 3).

Векторные линии в конкретных полях имеют ясный физический смысл.

В поле скоростей текущей жидкости векторные линии – это линии тока этой жидкости, т. е. линии, по которым движутся частицы жидкости.

В электрическом поле векторные линии – это силовые линии и их расположение очень важно в физике.

Выведем уравнения векторных линий для поля (для краткости аргументы функций не выписаны).

Пусть уравнения векторной линии , (параметр). Касательным вектором этой линии является вектор и вектор .

По определению векторной линии ее касательный вектор и вектор поля коллинеарны. Поэтому координаты этих векторов пропорциональны, т. е.

.

Пример 4. Магнитное поле создано электрическим током силы , текущим по бесконечно длинному прямому проводу . Найти силовые линии этого поля.

Решение. Если провод принять за ось некоторой декартовой системы координат, то, как известно из физики,

.

Запишем уравнения векторных линий для поля :

или .

Из первого уравнения имеем . Из второго уравнения . Таким образом, силовые линии поля есть окружности , расположенные в плоскостях , параллельных плоскости .

Пример 5. Найти векторные линии поля .

Решение. Учитывая, что , запишем систему:

.

В одном из уравнений этой системы разделим переменные: .

Теперь проинтегрируем и получим

или .

Чтобы решить другое уравнение системы, воспользуемся известным свойством пропорций: если , то . В нашем примере удобно взять , и записать систему уравнений следующим образом:

или .

Разделим переменные: . Проинтегрируем и получим . Таким образом, векторные линии данного поля есть линии пересечения поверхностей и .

 

13. Лекционное занятие.ПОТОК ВЕКТОРНОГО ПОЛЯ

 

Пусть в некоторой части пространства течет жидкость, причем скорость частицы жидкости зависит только от точки, через которую протекает жидкость, и не зависит от времени, т. е. . Требуется вычислить количество (объем) жидкости , протекающее в единицу времени через ориентированную поверхность в выбранном направлении (предполагается, что жидкость может свободно протекать через эту поверхность).

Рассмотрим сначала простейший случай. Пусть ─ плоская площадка с нормальным вектором , а скорость течения жидкости во всех точках одна и та же. Тогда количество жидкости, протекающей через эту площадку в единицу времени, равно (рис. 1) объему цилиндра с основанием и образующей . Так как высота этого цилиндра равна , то его объем равен . Эта величина и равна количеству жидкости, протекающей через . Опустив знак абсолютной величины, мы получим величину , которую называют потоком жидкости через . Если угол между векторами и ─ острый, то говорят, что жидкость течет в направлении вектора ; в этом случае и поток совпадает с количеством жидкости. Если угол между векторами и тупой, то говорят, что жидкость течет в направлении, противоположном вектору ; в этом случае и поток отличается от количества жидкости знаком. Если векторы и перпендикулярны, то жидкость течет вдоль площадки и поток равен нулю.

Перейдем теперь к общему случаю. Для вычисления потока жидкости через произвольную поверхность разобьем эту поверхность на частей с площадями (рис. 2). На каждой площадке выберем произвольную точку . Будем приближенно считать, что все частицы, протекающие через малую площадку , имеют одинаковые скорости ; кроме того, площадку будем считать плоской и перпендикулярной нормальному вектору .

Тогда поток жидкости через площадку приближенно равен

.

Для потока через всю поверхность получим

.

Это приближенное равенство будет тем точнее, чем меньше . Точное значение потока определяется как предел этой суммы при :

.

Полученный предел равен поверхностному интегралу I рода от скалярной функции . Таким образом, поток жидкости через поверхность вычисляется по формуле

.

 

Отметим, что

1) если суммарный поток , то количество жидкости, протекающей в направлении нормали , больше количества жидкости, протекающей в направлении ;

2) если суммарный поток , то количество жидкости, протекающей в направлении нормали , меньше количества жидкости, протекающей в направлении ;

3) если , то количества жидкости, протекающей в том и другом направлении, одинаковы.

Интеграл в формуле (10.1) является поверхностным интегралом первого рода от скалярной функции . Его также называют поверхностным интегралом второго рода от вектор-функции . Аналогичным образом определяют поток и для произвольного векторного поля .