Градиент поля и его свойства

Вектор является важной характеристикой скалярного поля. Введем условный оператор (оператор Гамильтона или вектор “набла”). С его помощью удобно записать градиент скалярного поля

.

Отметим ряд свойств градиента.

1). Скалярное поле в точке быстрее всего возрастает в направлении вектора со скоростью, равной .

2). Скалярное поле в точке быстрее всего убывает в направлении, противоположном вектору , со скоростью, равной .

3). Вектор направлен по нормали к поверхности уровня поля , проходящей через точку .

4). Дифференциальные свойства:

Проверим эти свойства.

1. Из формулы и определения скалярного произведения следует, что

,

где ─ угол между векторами и . Так как длина единичного вектора равна единице, то

.

Поэтому принимает наибольшее значение, равное , когда =1, то есть угол между векторами и равен нулю и .

2. Производная будет принимать наименьшее значение, когда , т.е. угол =и .

3. Поверхность уровня поля имеет уравнение . Нормальный вектор этой поверхности совпадает с . Значит, вектор направлен по нормали к поверхности уровня поля , проведенной в точке .

4.1.

аналогично проверяются свойства 4.2), 4.3), 4.4);

для проверки свойства 4.5) учтем, что аналогично, и поэтому

.

Из первого и третьего свойств следует инвариантное определение градиента, т.е. определение, не зависящее от системы координат:

Градиент скалярного поля в точке есть вектор, который

а) по величине равен наибольшей скорости возрастания поля в точке ,

б) направлен по нормали к поверхности уровня поля , проходящей через точку , в сторону наибольшего возрастания поля.

Пример 1. Найти наибольшую скорость возрастания поля в точке .

Решение. Найдем градиент поля:

.

Наибольшая скорость возрастания поля в точке равна

Пример 2. Доказать оптическое свойство эллипса: лучи, выходящие из одного фокуса эллипса, после отражения от эллипса проходят через другой фокус эллипса.

Решение. Пусть фокусы эллипса; . Рассмотрим

скалярное поле . По определению эллипса точка принадлежит эллипсу тогда и только тогда, когда , т.е. эллипс есть линия уровня скалярного поля ; поэтому направлен по нормали к эллипсу в точке . Кроме того, этот вектор направлен по диагонали параллелограмма, построенного на векторах . Длины этих векторов равны единице, поэтому параллелограмм является ромбом и его диагональ является биссектрисой угла ромба, т.е. . Тогда , как углы дополнительные до прямого. Так как то т.е. луч, выходящий из фокуса эллипса, после отражения от эллипса пройдет через другой фокус .