Формула для вычисления производной по направлению

Пусть функция – дифференцируема в точке . Тогда

,

где и .

Поделим равенство (8.1) на :

.

Рассмотрим вектор , называемый градиентом поля , и вектор , равный единичному вектору направления . Тогда равенство (8.2) можно записать в виде

,

где первое слагаемое есть скалярное произведение векторов и .

В пределе при , стремящемся к нулю, получим:

,

где ─ градиент скалярного поля , ─ единичный вектор направления .