Формула для вычисления производной по направлению
Пусть функция – дифференцируема в точке . Тогда
,
где и .
Поделим равенство (8.1) на :
.
Рассмотрим вектор , называемый градиентом поля , и вектор , равный единичному вектору направления . Тогда равенство (8.2) можно записать в виде
,
где первое слагаемое есть скалярное произведение векторов и .
В пределе при , стремящемся к нулю, получим:
,
где ─ градиент скалярного поля , ─ единичный вектор направления .