Тройной интеграл в криволинейной системе

Для вычисления тройного интеграла иногда удобно использовать не прямоугольные координаты , а некоторые криволинейные координаты . Пусть известна связь между этими координатами

и .

Аналогично случаю двойного интеграла можно показать, что

Здесь и ─ области изменения соответственно переменных и .

Для вычисления тройного интеграласледует

1) заменить на их выражения в криволинейной системе координат,

, ;

2) заменить область изменения переменных на область изменения переменных .

Замечание. Иногда удобнее вычислить не якобиан а якобиан . Тогда искомый якобиан .

Пример 3. Вычислить объем параллелепипеда, ограниченного плоскостями

Решение. Введем новые переменные

вычислим якобиан

Тогда искомый объем равен