Тройной интеграл в криволинейной системе
Для вычисления тройного интеграла иногда удобно использовать не прямоугольные координаты , а некоторые криволинейные координаты . Пусть известна связь между этими координатами
и .
Аналогично случаю двойного интеграла можно показать, что
Здесь и ─ области изменения соответственно переменных и .
Для вычисления тройного интеграласледует
1) заменить на их выражения в криволинейной системе координат,
, ;
2) заменить область изменения переменных на область изменения переменных .
Замечание. Иногда удобнее вычислить не якобиан а якобиан . Тогда искомый якобиан .
Пример 3. Вычислить объем параллелепипеда, ограниченного плоскостями
Решение. Введем новые переменные
вычислим якобиан
Тогда искомый объем равен