Лекционное занятие. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ, СОДЕРЖАЩИХ КВАДРАТНЫЙ ТРЕХЧЛЕН
Пример 10.
Рассмотрим интегралы следующих трех типов:
где или . Отметим, что интегралы 1-го и 2-го типа при возникают при интегрировании дробно-рациональных функций.
Укажем общие рекомендации по отысканию интегралов этих трех типов.
В интеграле выделить из квадратного трехчлена полный квадрат.
В интеграле выделить в числителе производную квадратного трехчлена.
В интеграле вынести из-под корня.
Пример 1. Найти интеграл .
Имеем интеграл первого типа при . Выделим из квадратного трехчлена полный квадрат: .
Используя это равенство и формулу (13) п.12.3, получим
Пример 2. Найти интеграл .
Имеем интеграл второго типа при . Найдем производную квадратного трехчлена и выделим ее в числителе следующим образом:
.
Тогда
Второй интеграл в этой сумме был найден в примере 1:
В первом интеграле воспользуемся тем, что
Обозначив , окончательно получим:
Пример 3. Найти интеграл .
Имеем интеграл третьего типа. Вынесем из-под корня:
.
Воспользуемся тем, что ,
.
Используя эти равенства и формулу (12) п.12.3, получим
.