Нормальность распределения остатков

Проанализируем нормальность распределения остатков для возможности использования критерия Стьюдента при проверке статистических гипотез. Сделать вывод о нормальности распределения остатков можно:

1) по гистограмме остатков;

2) по числовым характеристикам асимметрии и эксцессу;

3) по критерию Пирсона.

 

Остатки (отклонения наблюдаемых значений от теоретических) являются оценками случайного члена e уравнения регрессии. Анализируя качество модели, необходимо проверить ряд статистических гипотез, использующих критерий Стьюдента, которым можно воспользоваться в случае, когда остатки распределены по нормальному закону. Кривая плотности нормального распределения задается функцией где a – математическое ожидание; s – среднее квадратическое отклонение. Например, при а= 0 и s = 1 она имеет вид, приведенный на рисунке 2. Визуально нормальность распределения остатков можно определить, сравнивая кривую плотности нормального распределения с гистограммой частот (частостей) остатков, т. е. со ступенчатой фигурой, состоящей из прямоугольников, основаниями которых служат интервалы одинаковой длины на оси Ох, а высоты равны сумме частот значений остатков, попадающих в интервал. Если линия, соединяющая середины верхних сторон прямоугольников, близка к кривой плотности нормального распределения, то предполагают, что распределение остатков приближено к нормальному.   Рисунок 2 – Кривая нормального распределения   Асимметрия и эксцесс как числовые характеристики нормально распределенной случайной величины равны 0. При асимметричном распределении вершина кривой сдвинута относительно ординаты выборочной средней. Если асимметрия больше 0, то вершина сдвинута вправо (положительная асимметрия), если меньше 0, то – влево (отрицательная асимметрия) (рисунок 3). а) б) Рисунок 3 – Правосторонняя (а) и левосторонняя (б) асимметрии распределения   Эксцесс характеризует относительную остроконечность или сглаженность распределения по сравнению с нормальным распределением. Положительный эксцесс обозначает относительно остроконечное распределение, отрицательный эксцесс – относительно сглаженное распределение (рисунок 4). а) б) Рисунок 4 – Положительный (а) и отрицательный (б) эксцессы распределения Оценки вида кривой Гаусса и значений асимметрии и эксцесса являются качественными характеристиками распределения. Для надежности вывода (с вероятностью 0,95) проверяется статистическая гипотеза о нормальности распределения с помощью критерия согласия Пирсона. Выдвигается гипотеза о нормальном законе распределения остатков. Для проверки данной гипотезы используется статистика c2 = имеющая распределение c2 с (k – r – 1) степенями свободы, где r – число параметров распределения F(x), которые оцениваются по выборке, n – объем выборки; k – число непересекающихся интервалов выборочных значений, ni – число значений выборки, принадлежащих i-му интервалу, i = 0,1,¼, k – 1; pi – вероятности попадания значений случайной величины в каждый из этих интервалов. По выборке вычисляется наблюдаемое значение статистики Для выбранного уровня значимости a по распределению c2 находится число = c2(a; k – r – 1). Гипотеза о нормальном распределении случайного члена принимается на заданном уровне значимости, если < Если же ³ то гипотеза отвергается.

 

1. Соединим середины верхних сторон прямоугольников гистограммы.

Так как ломаная линия (рисунок 5) близка к кривой нормального распределения, заданной уравнением где a = 0 – математическое ожидание; s = 13,67 – среднее квадратическое отклонение, то остатки распределены по нормальному закону. Следовательно, по визуальному анализу гистограммы можно сделать вывод о выполнении условия нормальности распределения остатков.

2. Так как асимметричность равна –0,3, то наблюдается небольшая левосторонняя асимметричность эмпирической кривой относительно теоретической.

 

– частота

Рисунок 5 – Гистограмма остатков

 

Эксцесс равен 0,08, поэтому наблюдается небольшая «островершинность» эмпирической кривой. Так как характеристики плотности распределения незначительно отличаются от нуля, то можно считать распределение нормальным.

3. Докажем нормальность распределения остатков с помощью критерия Пирсона.

На листе «Условие 1 и нормальность»найдены наблюдаемое и критическое значения статистики хи-квадрат. Так как хи-квадрат наблюдаемое, равное 1,67, меньше хи-квадрат критического, равного 7,81, то остатки распределеныпо нормальному закону, несмотря на незначительные отклонения эмпирического распределения остатков от нормального.