Представим графически фактические и модельные значения Y точки прогноза.

Найденное в предыдущем пункте задачи прогнозное значение

= 117,64 будет находиться между верхней границей, равной 117,64+9,974 = 127,6, и нижней границей, равной 117,64-9,974 = 107,7. График исходных данных и результаты моделирования приведены на рис. 2.

Рис.2. Сравнение фактических и модельных значенийY точки прогноза

8. Составить уравнения нелинейной регрессии и построить их графики:

· гиперболической;

· степенной;

· показательной.

Построение гиперболической функции

Уравнение гиперболической функции: у = а + b/х. Произведем линеаризацию модели путем замены Х = 1/х. В результате получим линейное уравнение у = а + b*x. Рассчитаем его параметры:

-3293,9;

198,7616.

Расчеты приведены в таблице 4: Таблица 4.

№ п/п x y Х уХ Х2 у-уср (у-уср)2 ŷ=a+b*Xi ei = yi - ŷ
0,0278 2,8889 0,0008 -7,4 54,76 107,26 -3,2645
0,0357 2,7500 0,0013 -34,4 1183,36 81,12 -4,1224
0,0233 2,7209 0,0005 5,6 31,36 122,16 -5,1593
0,0192 2,6346 0,0004 25,6 655,36 135,42 1,5826
0,0196 2,8039 0,0004 31,6 998,56 134,18 8,8246
0,0185 2,6667 0,0003 32,6 1062,76 137,76 6,2365
0,0400 3,2800 0,0016 -29,4 864,36 67,01 14,9943
0,0270 2,7297 0,0007 -10,4 108,16 109,74 -8,7374
0,0196 2,5882 0,0004 20,6 424,36 134,18 -2,1754
0,0345 2,6552 0,0012 -34,4 1183,36 85,18 -8,1790
Сумма 0,2652 27,7182 0,0076   6566,4 0,0000
Среднее 40,6 111,4 0,0265 2,7718 0,0008        

 

Получим следующее уравнение гиперболической модели:

y = 198,7616-3293,9/x.

 

График функции будет иметь следующий вид:

Рис. 3.График гиперболической функции

Построение степенной функции.

Уравнение степенной модели имеет вид: ŷ = a+xb.

Для построения этой модели необходимо произвести линеаризацию переменных. Для этого произведем логарифмирование обеих частей уравнения: lg ŷ = lg a +b lg x. Результаты расчетов приведены в таблице.

Таблица 5.

Расчет значений для нахождения параметров уравнения степенной регрессии.

№ Фактическое Y(t) lg (Y) Переменная X(t) lg(X)
2,017 1,556
1,886 1,447
2,068 1,633
2,137 1,716
2,155 1,708
2,158 1,732
1,914 1,398
2,004 1,568
2,121 1,708
1,886 1,462
Итого 1114,00 20,347 406,00 15,929
Средн. знач 111,40 2,035 40,60 1,593

 

Обозначим Y= lg ŷ, X= lg x, А= lg а. Тогда уравнение примет вид

Y= A+ bX – линейное уравнение регрессии.

На основе произведенных вычислений найдем:

0,8577;

0,6685.

Тогда уравнение регрессии примет вид:

Y=0,6685+0,8577X.

Перейдем к исходным переменным ли у, выполнив потен­цирование данного уравнения.

Получим уравнение степенной модели регрессии:

.

График степенной функции будет иметь следующий вид:

Рис.4.График степенной функции

Построение показательной функции.

Уравнение показательной кривой: у =abx . Для построения этой модели необходимо произвести линеаризацию переменных. Для этого осуществим логарифмиро­вание обеих частей уравнения:

lg = lg a + х lg b.

Обозначим: Y = lg , В = lg b, A = lg a.

Получим линейное уравнение регрессии:

Y = А + В*х.

Параметры уравнения находятся по формулам:

0,010;

1,640.

Результаты расчетов для определения параметров уравнения приведены в таблице:

t y Y x Yx x2
2,0170 72,61 1296,00 97,7322
1,8865 52,82 784,00 81,7160
2,0682 88,93 1849,00 114,3016
2,1367 111,11 2704,00 139,7974
2,1553 109,92 2601,00 136,7045
2,1584 116,55 2916,00 146,1948
1,9138 47,85 625,00 76,4114
2,0043 74,16 1369,00 99,9434
2,1206 108,15 2601,00 136,7045
1,8865 54,71 841,00 83,5648
Итого 1114,00 20,3473 406,00 836,81285 17586,00000 1113,0705
Среднее значение 111,4000 2,0347 40,6000 83,6813 1758,6000  

 

Уравнение будет иметь вид:

Y=1,640 + 0,010*X.

Перейдем к исходным переменным х и у, выполнив потенцирование данного уравнения:

График показательной регрессии будет иметь следующий вид:

Рис.5.График показательной функции