Систем автоматического регулирования.

III. 2. Временные и частотные характеристики

 

Временные характеристики (переходная характеристика звена h(t) и весовая W(t)) систем автоматического регулировании, являющиеся, соответственно, реакциями САР на единичный скачек и единичный импульс, определяются точно так же, как и для звеньев

.

Следует отметить только, что передаточная функция W(p) САР имеют более сложный характер, чем у звеньев, и значит, нахождение оригиналов h(t) и w(t) у САР встречает большие вычислительные трудности, чем у звеньев. Поэтому для нахождения временных характеристик САР желательно воспользоваться каким-либо математическим редактором – Maple, Mathcad, Matlab и т.п.

Частотные характеристики САР находятся по той же методике, что и аналогичные характеристики звеньев. Рассмотрим более подробно построение ЛАЧХ САР с целью выработки навыков быстрого построения первой асимптоты. Отметим, что при получении ЛАЧХ САР мы будем ориентироваться, как уже говорилось ранее, не на представлении частотной передаточной функции системы в виде отношения полиномов по j

,

а считать и числитель, и знаменатель этой функции произведениями комплексных функций вида любой степени.

Любая частотная передаточная функция может быть отнесена к одному из трех типов. Нужно сказать, что для нахождения типа частотной передаточной функции число скобок вида в числителе и знаменателе и их степени совсем не критичны. Тип частотной передаточной функции определяется наличием или отсутствием множителя , где ν =1,2,3…, в числителе или знаменателе. Если этого множителя нет вообще, то частотная передаточная функция относится к I типу, если он находится в числителе – то ко II–му, а если в знаменателе – то к III типу. Ниже приведены примеры частотных передаточных функций, относящихся к одному из вышеуказанных типов.

I. (III.2.1)

II (III.2.2)

 

III (III.2.3)

Амплитудная частотная характеристика для каждого из этих примеров различных частотных передаточных функций имеет вид

.

.

.

Расположим постоянные времени в порядке их убывания. Допустим, числовые значения параметров таковы, что справедливы соотношения .

Тогда неравенства для сопрягающих частот примут вид

(III. 2.4)

Для I участка частот, когда , т.е. когда в формулах для в скобках и подкоренных выражениях можно пренебречь вторыми слагаемыми по сравнению с единицей, и тогда для первой асимптоты частотной передаточной функции I, II, III типов, соответственно, получится

,

,

.

Из этих выражений следует, что для частотной передаточной функции I типа первая асимптота есть прямая линия, параллельная оси абсцисс и проходит от нее на расстоянии ; для частотной передаточной функции II типа первая асимптота это прямая линия с наклоном + ν 20, а для частотной передаточной функции III типа – с наклоном - ν 20.

Итак, оказывается, найти первую асимптоту САР очень легко. Проведение последующих асимптот – второй, третей и т.д. – обсуждалось выше при рассмотрении упругого звена (см. III. 1.6).

Построим ЛАЧХ для частотных передаточных функций всех трех типов.

Для ЛАЧХ I типа (рис. III. 40) при, например, k = 100 первая асимптота L₁() проходит на расстоянии параллельно оси абсцисс. Если сопрягающие частоты подчиняются неравенствам (III. 2.4), то при частоте , соответствующе постоянной времени Т₄, находящейся в знаменателе (III. 2.1) в скобке со степенью ν = 2, асимптота претерпевает излом , так что наклон второй асимптоты будет . При частоте , соответствующей постоянной времени Т₂, находящейся в числителе (III. 2.1), происходит излом асимптоты на и суммарный наклон асимптоты на III участке будет . Рассуждая аналогично предыдущему, найдем что при частоте происходит дополнительный излом асимптоты на , а при частоте – на .

Рис. III. 40 ЛАЧХ для частотной передаточной функции САР I типа.

 

Для ЛАЧХ II типа при k = 0.1 и ν = 2 первая асимптота, как уже говорилось, может быть представлена в виде

.

Это прямая лини с наклоном ; проходящая для любой конкретной частоты w^* через точку, значение ординаты которой равно . Рекомендуется для простоты расчетов брать , независимо от того, принадлежит ли частота I участку или нет. Для нашего случая (рис. III.41)

.

Асимптота I участка с наклоном проходит через точку , расположенную на II участке. До сопрягающей частоты асимптота изображена сплошной линией, а после нее до точки - пунктиром. На сопрягающей частоте ЛАЧХ претерпевает излом на (см. III. 2.2) и суммарный наклон второй асимптоты будет . Построение дальнейших асимптот аналогично вышерассмотренному и приведено на рис. III. 41.

Рис. III. 41. ЛАЧХ для частотной передаточной функции САР II типа.

И, наконец, в случае частотной передаточной функции III типа при k = 0.1 и ν = 1 первая асимптота ЛАЧХ будет иметь вид

.

Итак, первая асимптота здесь – прямая линия с наклоном , проходящая через точку (рис. III. 42). Далее на сопрягающей частоте (см. III. 2.3) ЛАЧХ ломается на , так что наклон второй асимптоты будет . Построение дальнейших асимптот легко уяснить из рис. III. 42 и (III.2.3).

 

Рис. III. 42. ЛАЧХ для частотной передаточной функции САР III типа.

 

Итак, на этих примерах мы убедились, что построение асимптотической ЛАЧХ обходится практически без вычислений.

Не менее интересной представляется и обратная задача, часто встречающаяся при синтезе САР, - нахождение передаточной функции системы по ее заданной ЛАЧХ. Допустим, на рис. III. 43 представлена ЛАЧХ системы, передаточную функцию которой необходимо определить.

Рис. III. 43. Пример ЛАЧХ САР.

 

На I участке ЛАЧХ имеет наклон , следовательно, ее частотная передаточная функция относится к III типу и выражение для первой асимптоты имеет вид

.

Определим неизвестный пока коэффициент усиления k. Из рис. III. 43 видно, что при , следовательно

,

т.е. k = 0.1, и часть передаточной функции САР, относящаяся к I участку, имеет вид

.

На сопрягающей частоте , которой соответствует постоянная времени , происходит излом ЛАЧХ на (было у первой асимптоты , стало у второй ). Отсюда следует, что часть передаточной функции САР, относящейся к первым двум участкам, будет такова

.

На сопрягающей частоте (постоянная времени ) ЛАЧХ “ломается” на (было, стало ). Это соответствует наличию в знаменателе скобки , т.е.

.

Рассуждая аналогичным образом по поводу сопрягающих частот и , окончательно получим для передаточной функции САР

.