Изотопический спин. Статистика.

(n - n) ≡ (n – р) ≡(р – р).

(1.10.1)

Тождественность ядерных свойств нейтрона и протона можно описать с помощью формальной, но очень удобной квантовомеханической характеристики - вектора изотопического спина (изоспина) ядра.

Вектор изотопического спина вводится в формальном изотопическом пространстве не имеющим физической размерности и имеет три компоненты Т_x, Т_y и Т_z. Частицы с одинаковым значением изоспина, но с разными знаками электрического заряда отличаются только своей проекцией на ось Z, называемой третьей компонентой Т₃ ≡ Т_z. Семейство всех таких частиц образует мультиплет.

Протон и нейтрон считаются различно ориентированными в изотопическом пространстве состояниями одной и той же частицы – нуклона. При таком рассмотрении нуклон представляет собой изотопический дублет. Так как характер ядерного взаимодействия не зависит от сорта нуклонов (т.е. от знака проекции Т_z), то ядерное взаимодействие нуклона определяется только величиной вектора изотопического спина , а не его проекцией, которая определяет электрические свойства нуклона.

Поэтому ядерное взаимодействие инвариантно по отношению к вращению нуклона в изотопическом пространстве (например, замена протона нейтроном), так как не изменяет абсолютной величины вектора изотопического спина. Это свойство ядерных сил называется изотопической инвариантностью. Изотопическая инвариантность утверждает, что все ядерные взаимодействия (и вообще все сильные взаимодействия) инвариантны (неизменны) относительно поворота вектора изотопического спина в изотопическом пространстве, подобно тому, как инвариантны взаимодействия относительно поворота обычной конфигурационной системы координат, так как при этом не изменяется величина механического момента (закон сохранения спина, см. §1.8). Это утверждение является содержанием закона сохранения изотопического спина. Изотопический спин является такой же важной характеристикой квантовых частиц, испытывающих сильное взаимодействие, как энергия, спин и четность.

По правилам сложения квантовых моментов (1.6.8) возможны два значения суммарного вектора изотопического спина Т₁₂ двух нуклонов

Т12 =Т1 + Т2 , Т1 + Т2 - 1 , . . . , |T1 – T2| = =1/2 +1/2, 1/2+ 1\2 – 1 = 1, 0.

(1.10.)

Однако в системах (n-n) и (p‑p) величина вектора суммарного спина Т₁₂ не может быть равна нулю, а обязательно равна только единице, ибо его проекция равна единице по абсолютной величине (+1 или –1 соответственно). В системе (n-р) проекция вектора суммарного спина равна нулю и в этой связи система может находиться в состояниях с величиной вектора изотопического спина равной как нулю, так и единице. Таким образом, в состоянии с изотопическим спином, равным единице, система (n-р) ничем, с точки зрения ядерного взаимодействия, не отличается от систем (n-n) и (p‑p), что и постулировалось в начале этого параграфа.

Понятие изотопического спина можно обобщить и на основное состояние атомного ядра (A, Z). В этом случае проекцию изоспина ядра можно найти по формулам:

;

(1.10.2)

В соответствии с этим правилом ядра могут образовывать зарядовые мультиплеты. Ядра образуют зарядовый дублет:

.

Примером изотопического триплета является триада из рассмотренных выше пионов, для которых изоспин равен 1.

Кроме мультиплетов возможно образование ядерных синглетов. Например, ядра ²H и ⁴He не имеют изобарных аналогов:

; Тz = 0; 2Т +1 =1.

В ядерных реакциях выполняется закон сохранения изотопического спина, что накладывает определенные ограничения на ядерные процессы. Например, a-частица (Т = 0) может испуститься ядром только в том случае, если его начальное и конечное состояния имеют одинаковый изоспин.

Статистика – коллективное свойство системы взаимодействующих частиц, связанное с неразличимостью частиц и вероятностным характером описания состояний системы в квантовой механике. Статистика проявляется для систем, состоящих из не менее двух одинаковых микрочастиц. Вводится понятие тождественности частиц, согласно которому все одинаковые частицы, образующие данную квантовомеханическую систему, оказываются абсолютно неразличимыми.

ψ(ζ2,ζ1) = ± ψ(ζ1,ζ2).

(1.11.1)

при перестановке частиц волновая функция системы либо не меняется, либо меняет свой знак. Функцию, которая не меняет свой знак при перестановке пары частиц, называют симметричной, в противном случае – антисимметричной.

Такое свойство тождественных частиц по отношению к перестановкам определяет вид распределения частиц по вероятностям состояний, называемый статистикой.

Существует два вида квантовой статистики:

Частицы с целым спином (например, фотоны, пионы) образуют системы, которые описываются симметричными волновыми функциями при перестановке любой пары частиц. Частицы такого рода подчиняются статистике Бозе-Эйнштейна и получили название бозонов.

Частицы с полуцелым спином (например, нуклоны, электроны), которые образуют связанные структуры и описываются антисимметричными функциями при перестановке частиц, подчиняются статистике Ферми-Дирака и носят названия фермионов. Частицы с полуцелым спином (фермионы) подчиняются принципу или запрету Паули: в любой системе тождественных фермионов в одном и том же одночастичном состоянии, которому отвечает определенный набор квантовых параметров (энергия, спин, четность), не может находиться больше одной частицы.

В статистике Бозе-Эйнштейна возможны три состояния системы:

а) Обе частицы в первом состоянии (обе размещены на первой полке).

б) Обе частицы во втором состоянии (обе размешены на второй полке).

в) Одна из частиц в первом состоянии, другая – во втором (одна на первой полке, другая на второй). Какая именно из частиц – вопрос, не имеющий смысла.

В статистике Ферми-Дирака возможно только одно состояние системы:

а) Одна из частиц находится в первом состоянии, другая - во втором. Какая именно из частиц – вопрос, не имеющий смысла.